Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения
💡Из жизниИзмерил ширину прямоугольника — получилось где-то между 2,5 см и 2,7 см (линейка не идеальна), длину — между 4,1 см и 4,3 см. Точного значения площади ты не знаешь, но можешь его оценить: перемножив границы, получишь, что площадь точно лежит между $10{,}25$ см² и $11{,}61$ см². Это и называется оцениванием значения выражения — и работает оно благодаря двум теоремам о сложении и умножении неравенств.
Теорема 3.1 — почленное сложение неравенств
📐Теорема
Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.
Доказательство. Рассмотрим разность $(a+c)-(b+d)$. Перегруппируем слагаемые: $$(a+c)-(b+d) = (a-b)+(c-d).$$ По условию $a>b$ и $c>d$, значит обе разности $a-b$ и $c-d$ положительны. Сумма двух положительных чисел положительна — значит, положительна и разность $(a+c)-(b+d)$, то есть $a+c > b+d$.
Аналогично: если $a$ или оба со знаком $<$) называют неравенствами одного знака — их можно почленно складывать. Теорема верна и для трёх и более неравенств одного знака: если $a_1>b_1$, $a_2>b_2$, $a_3>b_3$, то $a_1+a_2+a_3 > b_1+b_2+b_3$.
Теорема 3.2 — почленное умножение неравенств
📐Теорема
Если $a > b$, $c > d$ и $a, b, c, d$ — положительные числа, то $ac > bd$.
Доказательство. Рассмотрим разность $ac - bd$ и распишем её через промежуточное слагаемое $bc$: $$ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a-b) + b(c-d).$$ Так как $a>b$ и $c>d$, то $a-b>0$ и $c-d>0$; а так как $b>0$ и $c>0$ по условию, то оба слагаемых $c(a-b)$ и $b(c-d)$ положительны. Их сумма положительна, значит $ac-bd>0$, то есть $ac>bd$.
Аналогично для знака $<$. Теорема тоже обобщается на три и более неравенств с положительными частями, а из неё следует: если $a>b$ и $a,b$ — положительные числа, то $a^n>b^n$ для любого натурального $n$ (перемножаем $n$ одинаковых верных неравенств $a>b$ подряд).
⚠️Частая ошибкаУсловие «$a,b,c,d$ — положительные числа» в теореме 3.2 нельзя отбросить. Например, неравенства $-2 > -3$ и $4 > 1$ — оба верны, но их почленное умножение даёт $-8 > -3$ — а это неверное неравенство ($-8 < -3$)! Складывать неравенства одного знака можно всегда, а вот умножать — только когда все четыре части положительны.
Оценивание значения выражения
Значения, полученные при измерении (длина, масса, время), почти никогда не точны — известны лишь границы, между которыми лежит истинное значение. Если известны границы нескольких величин, теоремы 3.1 и 3.2 позволяют найти границы для выражения, которое из них составлено, то есть оценить его значение.
Попробуй сам во вкладке «Оценка a+b, ab» справа: двигай границы интервалов для $a$ и $b$ и смотри, как пересчитываются границы суммы и произведения.
Пример 1 — оценка выражений с $a$ и $b$
Дано: $6 < a < 8$ и $10 < b < 12$. Оцените значения выражений: $a+b$, $a-b$, $ab$, $\tfrac{a}{b}$, $3a+\tfrac{b}{2}$.
1
$a+b$: складываем оба неравенства почленно (теорема 3.1): $6+10 < a+b < 8+12$, то есть $$16 < a+b < 20.$$
2
$a-b$: умножим неравенство $10
3
$ab$: так как $a>6>0$ и $b>10>0$, обе части положительны — можно применить теорему 3.2: $6\cdot10 < ab < 8\cdot12$, то есть $$60 < ab < 96.$$
4
$\tfrac{a}{b}$: из $10
5
$3a+\tfrac{b}{2}$: умножаем $6
✏️Пример 2Докажите, что $\sqrt{24}+\sqrt{47}<12$. Так как $\sqrt{24}<5$ (потому что $5^2=25>24$) и $\sqrt{47}<7$ (потому что $7^2=49>47$), складывая эти два верных неравенства почленно (теорема 3.1), получаем $\sqrt{24}+\sqrt{47} < 5+7 = 12$.
Дополнительно: другие способы доказательства неравенств
Кроме сравнения разности с нулём (§1), существуют и другие приёмы. Например, метод «от противного» позволяет доказать неравенство Коши — Буняковского (в честь Огюстена Луи Коши и Виктора Яковлевича Буняковского): для любых чисел $a_1,a_2,b_1,b_2$ верно $$(a_1b_1+a_2b_2)^2 \le (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2).$$ А ранее доказанное неравенство Коши для двух чисел $\tfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}$ (для $a\ge0$, $b\ge0$) само становится инструментом для доказательства новых неравенств — например, для положительных $a,b$ верно $(a+\tfrac1b)(b+\tfrac1a)\ge4$.
🧠Запомни
1) Неравенства одного знака можно почленно складывать всегда: $a>b$, $c>d$ ⇒ $a+c>b+d$.
2) Неравенства одного знака с положительными частями можно почленно умножать: $a>b$, $c>d$, все положительны ⇒ $ac>bd$.
3) Чтобы оценить $a-b$, представь как $a+(-b)$ и сначала смени знак у неравенства для $b$.
4) Чтобы оценить $\tfrac{a}{b}$, представь как $a\cdot\tfrac1b$ и сначала «перевернlikelihood» неравенство для $b$.