💡Из жизниВспомним неравенство из прошлой темы про параллелограмм: $14+2x>44$. Перенесём 14 в правую часть, поменяв знак: $2x>44-14$, то есть $2x>30$. Разделим обе части на 2 (число положительное — знак неравенства не меняется): $x>15$. Так же, как уравнения, неравенства решают, заменяя их равносильными — более простыми.
Правила решения неравенств
При решении неравенств с одной переменной применяют правила, аналогичные правилам решения уравнений:
📐Равносильные преобразования неравенства
1) Если какое-либо слагаемое перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный, — получим неравенство, равносильное данному.
2) Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число — получим неравенство, равносильное данному.
3) Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, — получим неравенство, равносильное данному.
Числовые промежутки
Множество решений неравенства $x>15$ состоит из всех чисел, больших 15. Такое множество называют числовым промежутком и обозначают $(15;+\infty)$ — читают: «промежуток от 15 до плюс бесконечности». На координатной прямой точки, изображающие эти числа, образуют луч с «выколотым» началом — сама точка 15 в промежуток не входит, поэтому её отмечают открытым кружком.
Если неравенство нестрогое ($x\ge a$ или $x\le a$), граничная точка входит в множество решений — на прямой её отмечают закрашенным кружком, а в записи промежутка используют квадратную скобку.
Неравенство
Промежуток
Граница
$x>a$
$(a;+\infty)$
не входит
$x\lt a$
$(-\infty;a)$
не входит
$x\ge a$
$[a;+\infty)$
входит
$x\le a$
$(-\infty;a]$
входит
Попробуй сам во вкладках справа: тяни границу $a$ по прямой и смотри, как записывается и закрашивается промежуток для каждого из четырёх видов неравенства.
Пример. Решение неравенства по шагам
Решим неравенство $2(2-3x)>3(x+6)-5$.
1Раскроем скобки в обеих частях: $4-6x>3x+18-5$
2Приведём подобные слагаемые в правой части: $4-6x>3x+13$
3Перенесём $3x$ влево, а $4$ — вправо, меняя знаки при переносе: $-6x-3x>-4+13$
4Приведём подобные слагаемые: $-9x>9$
5Разделим обе части на $-9$ — число отрицательное, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $x\lt-1$
Неравенство $3+\tfrac{x}{2}\le7+x$ после переноса и умножения на $-2$ (со сменой знака) даёт $x\ge-8$ — промежуток $[-8;+\infty)$, точка $-8$ входит в решение.
Неравенство $3(2x-1)+7\ge2(3x+1)$ сводится к $0\cdot x\ge-2$ — это верное числовое неравенство при любом $x$. Ответ: $x$ — любое число, то есть промежуток $(-\infty;+\infty)$ — его называют числовой прямой.
Неравенство $4(x-2)-1\lt2(2x-9)$ сводится к $0\cdot x\lt-9$ — это неверное числовое неравенство ни при каком $x$. Ответ: решений нет, $\varnothing$.
Каждое из этих неравенств сводится к равносильному неравенству одного из четырёх видов: $ax>b$, $ax\lt b$, $ax\ge b$, $ax\le b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа. Такие неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной.
⚠️Частая ошибкаДеля или умножая обе части неравенства на отрицательное число, ученики забывают поменять знак неравенства на противоположный. Например, из $-9x>9$ по ошибке получают $x>-1$ вместо верного $x<-1$ — а это совсем другой, «противоположный» числовой промежуток. Правило простое: делим/умножаем на минус — переворачиваем знак неравенства.
🧠Запомни
1) Перенос слагаемого с переменой знака, умножение/деление на положительное число — знак неравенства не меняется.
2) Умножение/деление на отрицательное число — знак неравенства меняется на противоположный.
3) $x>a\Rightarrow(a;+\infty)$, $\ x\lt a\Rightarrow(-\infty;a)$, $\ x\ge a\Rightarrow[a;+\infty)$, $\ x\le a\Rightarrow(-\infty;a]$.
4) Скобка — граница не входит (строгое неравенство), квадратная скобка — граница входит (нестрогое неравенство).