Решение линейных неравенств. Числовые промежутки
Правила решения неравенств
При решении неравенств с одной переменной применяют правила, аналогичные правилам решения уравнений:
2) Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же положительное число — получим неравенство, равносильное данному.
3) Если обе части неравенства умножить (разделить) на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, — получим неравенство, равносильное данному.
Числовые промежутки
Множество решений неравенства $x>15$ состоит из всех чисел, больших 15. Такое множество называют числовым промежутком и обозначают $(15;+\infty)$ — читают: «промежуток от 15 до плюс бесконечности». На координатной прямой точки, изображающие эти числа, образуют луч с «выколотым» началом — сама точка 15 в промежуток не входит, поэтому её отмечают открытым кружком.
Если неравенство нестрогое ($x\ge a$ или $x\le a$), граничная точка входит в множество решений — на прямой её отмечают закрашенным кружком, а в записи промежутка используют квадратную скобку.
| Неравенство | Промежуток | Граница |
|---|---|---|
| $x>a$ | $(a;+\infty)$ | не входит |
| $x\lt a$ | $(-\infty;a)$ | не входит |
| $x\ge a$ | $[a;+\infty)$ | входит |
| $x\le a$ | $(-\infty;a]$ | входит |
Попробуй сам во вкладках: тяни границу $a$ по прямой и смотри, как записывается и закрашивается промежуток для каждого из четырёх видов неравенства.
Пример. Решение неравенства по шагам
Решим неравенство $2(2-3x)>3(x+6)-5$.
Ещё несколько случаев
Неравенство $3+\tfrac{x}{2}\le7+x$ после переноса и умножения на $-2$ (со сменой знака) даёт $x\ge-8$ — промежуток $[-8;+\infty)$, точка $-8$ входит в решение.
Неравенство $3(2x-1)+7\ge2(3x+1)$ сводится к $0\cdot x\ge-2$ — это верное числовое неравенство при любом $x$. Ответ: $x$ — любое число, то есть промежуток $(-\infty;+\infty)$ — его называют числовой прямой.
Неравенство $4(x-2)-1\lt2(2x-9)$ сводится к $0\cdot x\lt-9$ — это неверное числовое неравенство ни при каком $x$. Ответ: решений нет, $\varnothing$.
Каждое из этих неравенств сводится к равносильному неравенству одного из четырёх видов: $ax>b$, $ax\lt b$, $ax\ge b$, $ax\le b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа. Такие неравенства называют линейными неравенствами с одной переменной.
2) Умножение/деление на отрицательное число — знак неравенства меняется на противоположный.
3) $x>a\Rightarrow(a;+\infty)$, $\ x\lt a\Rightarrow(-\infty;a)$, $\ x\ge a\Rightarrow[a;+\infty)$, $\ x\le a\Rightarrow(-\infty;a]$.
4) Скобка — граница не входит (строгое неравенство), квадратная скобка — граница входит (нестрогое неравенство).