Рассмотрим выражение $\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}$. Найдём множество допустимых значений переменной $x$, т. е. все значения переменной $x$, при которых данное выражение имеет смысл. Это множество называют областью определения выражения.
Так как подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения, то должны одновременно выполняться два неравенства: $2x-1\ge0$ и $5-x\ge0$. То есть искомые значения переменной $x$ — это все общие решения указанных неравенств.
Если требуется найти все общие решения двух или нескольких неравенств, то говорят, что надо решить систему неравенств.
Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Так, для нахождения области определения выражения $\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}$ надо решить систему неравенств:
$$\begin{cases}2x-1\ge0,\\5-x\ge0.\end{cases}$$Решим систему выше. Преобразовав каждое неравенство системы в равносильное ему, получим: $x\ge\tfrac12$ и $x\le5$. Множество решений последней системы состоит из всех чисел, которые не меньше $\tfrac12$ и не больше 5, т. е. из всех чисел, удовлетворяющих неравенству $\tfrac12\le x\le5$. Это множество является числовым промежутком: $\left[\tfrac12;5\right]$ (читают: «промежуток от $\tfrac12$ до 5, включая $\tfrac12$ и 5»).
Заметим, что все общие точки промежутков $\left[\tfrac12;+\infty\right)$ и $(-\infty;5]$ образуют промежуток $\left[\tfrac12;5\right]$. Тогда промежуток $\left[\tfrac12;5\right]$ является пересечением промежутков $\left[\tfrac12;+\infty\right)$ и $(-\infty;5]$, т. е. $\left[\tfrac12;+\infty\right)\cap(-\infty;5]=\left[\tfrac12;5\right]$.
Промежутки $\left[\tfrac12;+\infty\right)$ и $(-\infty;5]$ являются множествами решений соответственно неравенств $x\ge\tfrac12$ и $x\le5$. Тогда можно сказать, что множество решений системы является пересечением множеств решений каждого из неравенств, составляющих систему.
Справа — числовая прямая с тремя системами из учебника. Переключай вкладки и тяни границы каждого неравенства: увидишь, как две отдельные «полосы» решений накладываются друг на друга, и снизу на прямой остаётся только их общая часть.
Найдём область определения выражения $\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}$, решив систему $\begin{cases}2x-1\ge0,\\5-x\ge0.\end{cases}$
Система $\begin{cases}x\le1,\\x\gt-2\end{cases}$ — множеством решений является пересечение промежутков $(-\infty;1]$ и $(-2;+\infty)$. Точка $1$ входит в решение (неравенство нестрогое), а точка $-2$ не входит (неравенство строгое). Пересечение — числовой промежуток $(-2;1]$.
Область определения функции $y=\tfrac{1}{\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+5}$ — это множество решений системы $\begin{cases}x-1>0,\\x+5\ge0,\end{cases}$ т. е. $\begin{cases}x>1,\\x\ge-5.\end{cases}$ Изобразим на координатной прямой пересечение промежутков $(1;+\infty)$ и $[-5;+\infty)$ — этим пересечением является промежуток $(1;+\infty)$: правая граница у обоих промежутков «уходит» в бесконечность, а решающим оказывается более строгое условие $x>1$.
| Неравенство | Промежуток |
|---|---|
| $a\le x\le b$ | $[a;b]$ |
| $a\lt x\lt b$ | $(a;b)$ |
| $a\lt x\le b$ | $(a;b]$ |
| $a\le x\lt b$ | $[a;b)$ |