💡Из жизниСтоимость поездки на такси зависит от расстояния: за каждый конкретный километраж счётчик покажет ровно одну сумму — не две разных и не «где-то между». Это и есть суть функции: каждому значению одной величины (расстояние) соответствует единственное значение другой (стоимость).
Что такое функция
В повседневной жизни нам часто приходится наблюдать процессы, в которых изменение одной величины (независимой переменной) влечёт за собой изменение другой величины (зависимой переменной). Изучение таких процессов требует создания их математических моделей. Одной из важнейших таких моделей является функция. С этим понятием вы познакомились в 7 классе — напомним и уточним основные сведения.
Пусть $X$ — множество значений независимой переменной, $Y$ — множество значений зависимой переменной.
📐ФункцияЭто правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества $X$ можно найти единственное значение зависимой переменной из множества $Y$.
Независимую переменную обозначают буквой $x$, зависимую — буквой $y$, а функцию (правило) — буквой $f$. Говорят, что переменная $y$ функционально зависит от переменной $x$. Этот факт записывают так: $y = f(x)$. Независимую переменную $x$ ещё называют аргументом функции.
Область определения и область значений
📥Область определения функцииМножество всех значений, которые принимает аргумент, называют областью определения функции и обозначают $D(f)$ или $D(y)$. Так, областью определения функции $y = \dfrac1{\sqrt{x}}$ является промежуток $D(y) = (0;\,+\infty)$.
📤Область значений функцииВ функциональной зависимости каждому значению аргумента $x$ соответствует определённое значение зависимой переменной $y$ — его называют значением функции и обозначают $f(x)$. Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная, называют областью значений функции и обозначают $E(f)$ или $E(y)$. Так, областью значений функции $y = \sqrt{x}$ является промежуток $E(y) = [0;\,+\infty)$.
Функцию считают заданной, если указана её область определения и правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти значение зависимой переменной.
Способы задания функции
Функцию можно задать одним из следующих способов: описательно; с помощью формулы; с помощью таблицы; графически.
Чаще всего функцию задают с помощью формулы — такой способ называют аналитическим. Если при этом область определения отдельно не указана, считают, что областью определения функции является область определения выражения, входящего в формулу.
Например, если функция задана формулой $f(x) = \dfrac1{\sqrt{x-1}}$, то её область определения совпадает с областью определения выражения $\dfrac1{\sqrt{x-1}}$, т. е. промежутком $(1;\,+\infty)$ — подкоренное выражение должно быть положительным.
1Выражение $\dfrac1{x-1}$ имеет смысл, если знаменатель не равен нулю: $x - 1 \ne 0$.
2Отсюда $x \ne 1$ — единственное значение, которое нужно исключить.
3Значит, область определения функции $f(x)=\dfrac1{x-1}$ — это промежуток $(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)$.
Функции, изученные в 7 и 8 классах
Справа — интерактивный график. Переключай вкладки (или наведись на строку таблицы) и двигай ползунок: видно, при каких $x$ функция вообще определена, и какие значения может принимать $y$.
Функция
Область определения
Область значений
График
$y = kx + b$
$(-\infty;+\infty)$
$(-\infty;+\infty)$, если $k \ne 0$
Прямая
$y = \tfrac{k}{x},\ k \ne 0$
$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$
$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$
Гипербола
$y = x^2$
$(-\infty;+\infty)$
$[0;+\infty)$
Парабола
$y = \sqrt{x}$
$[0;+\infty)$
$[0;+\infty)$
Ветвь параболы
⚠️Частая ошибкаУченики находят область определения «на глаз» — подставляют пару удобных чисел, получают ответ, и на этом останавливаются, забывая проверить именно те точки, где выражение теряет смысл: где знаменатель дроби обращается в ноль или подкоренное выражение становится отрицательным. Правильный порядок обратный: сначала находят запрещённые значения переменной, а область определения — это всё остальное.
Запомни
🧠ГлавноеФункция — правило, дающее по каждому $x$ из области определения ровно одно значение $y$. $D(f)$ — все допустимые значения $x$, $E(f)$ — все значения, которые реально принимает $y$. Если функция задана формулой без явно указанной области определения, то $D(f)$ совпадает с областью определения самого выражения: исключаются деление на ноль и отрицательное подкоренное выражение.