9 класс · Квадратичная функция

Повторение и расширение сведений о функции

💡 Из жизниСтоимость поездки на такси зависит от расстояния: за каждый конкретный километраж счётчик покажет ровно одну сумму — не две разных и не «где-то между». Это и есть суть функции: каждому значению одной величины (расстояние) соответствует единственное значение другой (стоимость).

Что такое функция

В повседневной жизни нам часто приходится наблюдать процессы, в которых изменение одной величины (независимой переменной) влечёт за собой изменение другой величины (зависимой переменной). Изучение таких процессов требует создания их математических моделей. Одной из важнейших таких моделей является функция. С этим понятием вы познакомились в 7 классе — напомним и уточним основные сведения.

Пусть $X$ — множество значений независимой переменной, $Y$ — множество значений зависимой переменной.

📐 ФункцияЭто правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества $X$ можно найти единственное значение зависимой переменной из множества $Y$.

Независимую переменную обозначают буквой $x$, зависимую — буквой $y$, а функцию (правило) — буквой $f$. Говорят, что переменная $y$ функционально зависит от переменной $x$. Этот факт записывают так: $y = f(x)$. Независимую переменную $x$ ещё называют аргументом функции.

Область определения и область значений

📥 Область определения функцииМножество всех значений, которые принимает аргумент, называют областью определения функции и обозначают $D(f)$ или $D(y)$. Так, областью определения функции $y = \dfrac1{\sqrt{x}}$ является промежуток $D(y) = (0;\,+\infty)$.
📤 Область значений функцииВ функциональной зависимости каждому значению аргумента $x$ соответствует определённое значение зависимой переменной $y$ — его называют значением функции и обозначают $f(x)$. Множество всех значений, которые принимает зависимая переменная, называют областью значений функции и обозначают $E(f)$ или $E(y)$. Так, областью значений функции $y = \sqrt{x}$ является промежуток $E(y) = [0;\,+\infty)$.

Функцию считают заданной, если указана её область определения и правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной можно найти значение зависимой переменной.

Способы задания функции

Функцию можно задать одним из следующих способов: описательно; с помощью формулы; с помощью таблицы; графически.

Чаще всего функцию задают с помощью формулы — такой способ называют аналитическим. Если при этом область определения отдельно не указана, считают, что областью определения функции является область определения выражения, входящего в формулу.

Например, если функция задана формулой $f(x) = \dfrac1{\sqrt{x-1}}$, то её область определения совпадает с областью определения выражения $\dfrac1{\sqrt{x-1}}$, т. е. промежутком $(1;\,+\infty)$ — подкоренное выражение должно быть положительным.

1 Выражение $\dfrac1{x-1}$ имеет смысл, если знаменатель не равен нулю: $x - 1 \ne 0$.
2 Отсюда $x \ne 1$ — единственное значение, которое нужно исключить.
3 Значит, область определения функции $f(x)=\dfrac1{x-1}$ — это промежуток $(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)$.

Функции, изученные в 7 и 8 классах

Справа — интерактивный график. Переключай вкладки (или наведись на строку таблицы) и двигай ползунок: видно, при каких $x$ функция вообще определена, и какие значения может принимать $y$.

ФункцияОбласть определенияОбласть значенийГрафик
$y = kx + b$ $(-\infty;+\infty)$ $(-\infty;+\infty)$, если $k \ne 0$ Прямая
$y = \tfrac{k}{x},\ k \ne 0$ $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$ Гипербола
$y = x^2$ $(-\infty;+\infty)$ $[0;+\infty)$ Парабола
$y = \sqrt{x}$ $[0;+\infty)$ $[0;+\infty)$ Ветвь параболы
⚠️ Частая ошибкаУченики находят область определения «на глаз» — подставляют пару удобных чисел, получают ответ, и на этом останавливаются, забывая проверить именно те точки, где выражение теряет смысл: где знаменатель дроби обращается в ноль или подкоренное выражение становится отрицательным. Правильный порядок обратный: сначала находят запрещённые значения переменной, а область определения — это всё остальное.

Запомни

🧠 ГлавноеФункция — правило, дающее по каждому $x$ из области определения ровно одно значение $y$. $D(f)$ — все допустимые значения $x$, $E(f)$ — все значения, которые реально принимает $y$. Если функция задана формулой без явно указанной области определения, то $D(f)$ совпадает с областью определения самого выражения: исключаются деление на ноль и отрицательное подкоренное выражение.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике