Часто о свойствах объекта можно судить по его изображению: фотографии, рентгеновскому снимку, рисунку и т. п. «Изображением» функции может служить её график. Справа — график некоторой функции $f$, определённой на промежутке $[-4;7]$, с областью значений $[-4;4]$.
Все значения этой функции не превосходят числа 4, при этом $f(3)=4$ — говорят, что число 4 является наибольшим значением функции. Все значения этой функции не меньше числа $-4$, при этом $f(7)=-4$ — говорят, что число $-4$ является наименьшим значением функции.
При $x=-3,\ x=1,\ x=5$ значение функции равно нулю.
Заметим, что на некоторых промежутках график функции расположен над осью абсцисс (функция принимает там положительные значения), а на других — под осью абсцисс (функция принимает отрицательные значения). Каждый из таких промежутков называют промежутком знакопостоянства функции.
Замечание. При поиске промежутков знакопостоянства функции принято указывать максимальные промежутки, на которых функция обладает указанным свойством.
Если перемещаться по оси абсцисс в одну сторону, можно заметить, что на одних промежутках график функции идёт вниз (значения функции уменьшаются) — говорят, что на таком промежутке функция убывает; на других промежутках график идёт вверх (значения функции увеличиваются) — говорят, что функция возрастает.
Часто используют и такие формулировки: функцию называют возрастающей на некотором промежутке, если для любых значений аргумента из этого промежутка большему значению аргумента соответствует большее значение функции; убывающей — если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Если функция возрастает на всей области определения, то её называют возрастающей. Если функция убывает на всей области определения, то её называют убывающей. Например, функция $y=x$ является возрастающей, а функция $y=-x$ — убывающей.
Докажите, что функция $y = x^2$ убывает на промежутке $(-\infty;0]$.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента из промежутка $(-\infty;0]$, причём $x_2 > x_1$. Покажем, что $x_2^2 < x_1^2$, т. е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
В задачах на поиск промежутков возрастания и убывания функции принято указывать максимальные промежутки, на которых функция обладает указанным свойством.
Докажите, что функция $f(x) = \tfrac1x$ убывает на каждом из промежутков $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента из промежутка $(0;+\infty)$, причём $x_2 > x_1$. Тогда по свойству числовых неравенств $\tfrac1{x_2} < \tfrac1{x_1}$. Следовательно, данная функция убывает на промежутке $(0;+\infty)$. Аналогично доказывают, что функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty;0)$.
Докажите, что линейная функция $f(x) = kx + b$ является возрастающей при $k > 0$ и убывающей при $k < 0$.
Пусть $x_1$ и $x_2$ — произвольные значения аргумента, причём $x_2 > x_1$. Имеем: $f(x_2) - f(x_1) = k(x_2 - x_1)$. Так как $x_2 - x_1 > 0$, то знак разности $f(x_2)-f(x_1)$ целиком определяется знаком $k$.
Если $k > 0$, то $f(x_2) - f(x_1) > 0$, т. е. $f(x_2) > f(x_1)$ — функция возрастающая. Если $k < 0$, то $f(x_2) - f(x_1) < 0$, т. е. $f(x_2) < f(x_1)$ — функция убывающая. Подвигай ползунок $k$ на графике справа и понаблюдай, как меняется направление прямой.