Алгебра 9 класс: Построение графика функции y = kf(x)

        🎚️
        Из жизниПредставь регулятор громкости на эквалайзере. Форма звуковой волны (её «рисунок» во времени) не меняется — меняется только высота всплесков: ручку прибавили — амплитуда выросла, всплески стали выше и глубже (растяжение); ручку убавили — волна «сплющилась» к нулевой линии (сжатие). Моменты, когда сигнала вообще нет (волна пересекает ноль), остаются на месте при любой громкости. Ровно так же устроен график $y=kf(x)$: он «регулирует громкость» графика $y=f(x)$ по вертикали, не трогая точки на оси абсцисс.
      

От графика $y=x^2$ к графику $y=2x^2$

В 8 классе вы познакомились с функцией $y=x^2$ и узнали, что её графиком является фигура, которую называют параболой.

Покажем, как с помощью графика функции $y=x^2$ построить график функции $y=2x^2$. Составив таблицу значений функций $y=x^2$ и $y=2x^2$ при одних и тех же значениях аргумента, замечаем: каждой точке $(x_0;y_0)$ графика функции $y=x^2$ соответствует единственная точка $(x_0;2y_0)$ графика функции $y=2x^2$. Поэтому все точки графика функции $y=2x^2$ можно получить, заменив каждую точку графика функции $y=x^2$ на точку с той же абсциссой и с ординатой, умноженной на 2.

Аналогично, используя график функции $y=x^2$, можно построить график функции $y=\tfrac12x^2$: все его точки получаются заменой каждой точки графика $y=x^2$ на точку с той же абсциссой и ординатой, умноженной на $\tfrac12$.

📐 Правило построения графика $y=kf(x)$График функции $y=kf(x)$, где $k>0$, можно получить, заменив каждую точку графика функции $y=f(x)$ на точку с той же абсциссой и ординатой, умноженной на $k$.

Растяжение и сжатие

Говорят, что график функции $y=kf(x)$ получен из графика функции $y=f(x)$ в результате растяжения в $k$ раз от оси абсцисс, если $k>1$, или в результате сжатия в $\tfrac1k$ раз к оси абсцисс, если $0

Рассмотрим функции $y=x^2$ и $y=-x^2$. Каждой точке $(x_0;y_0)$ графика функции $y=x^2$ соответствует точка $(x_0;-y_0)$ графика функции $y=-x^2$. Поэтому все точки графика функции $y=-x^2$ можно получить, заменив каждую точку графика функции $y=x^2$ на точку с той же абсциссой и ординатой, умноженной на $-1$.

Правило построения графика функции $y=kf(x)$, где $k<0$, такое же, как и для случая, когда $k>0$.

Заметим, что при $k\ne0$ нули функций $y=f(x)$ и $y=kf(x)$ совпадают. Следовательно, графики этих функций пересекают ось абсцисс в одних и тех же точках.

Параболы $y=ax^2$

Графики функций $y=ax^2$ при разных значениях $a$, как и график функции $y=x^2$, называют параболами. Точка $(0;0)$ является вершиной каждой из этих парабол. Часто вместо высказывания «Дана функция $y=ax^2$» употребляют «Дана парабола $y=ax^2$».

Если $a>0$, то ветви параболы $y=ax^2$ направлены вверх, если $a<0$, то ветви параболы направлены вниз.

Свойство	$a>0$	$a<0$
Область определения	$(-\infty;+\infty)$	$(-\infty;+\infty)$
Область значений	$[0;+\infty)$	$(-\infty;0]$
Нули функции	$x=0$	$x=0$
Возрастает на промежутке	$[0;+\infty)$	$(-\infty;0]$
Убывает на промежутке	$(-\infty;0]$	$[0;+\infty)$

Пример. Построение $y=2x^2$ по шагам

1 Берём произвольную точку графика $y=x^2$, например $(1{,}5;\ 2{,}25)$.

2 Умножаем ординату на $k=2$: получаем точку $(1{,}5;\ 4{,}5)$ — с той же абсциссой.

3 Повторяем так для всех точек — новая линия и есть график $y=2x^2$: та же парабола, но «выше» вдвое в каждой точке.

Подвигай ползунок $k$ на графике справа — сравни, как меняется парабола относительно неизменного графика $y=x^2$.

⚠️ Частая ошибкаНе путай $y=kf(x)$ с $y=f(kx)$! В $y=kf(x)$ умножается значение функции — график растягивается или сжимается по вертикали, точки на оси $x$ (нули функции) не двигаются. А вот в $y=f(kx)$ умножается аргумент — это уже растяжение/сжатие по горизонтали, и это совсем другое преобразование, оно в учебнике не рассматривается в этом параграфе.

Запомни

🧠 ГлавноеГрафик $y=kf(x)$ ($k\ne0$) получают из графика $y=f(x)$, заменяя каждую точку $(x_0;y_0)$ на точку $(x_0;ky_0)$. При $k>1$ — растяжение в $k$ раз от оси $Ox$. При $0сжатие в $\tfrac1k$ раз к оси $Ox$. При $k<0$ график ещё и отражается относительно оси $Ox$. Нули функции при этом не меняются — графики $y=f(x)$ и $y=kf(x)$ пересекают ось абсцисс в одних и тех же точках. Ветви параболы $y=ax^2$ направлены вверх при $a>0$ и вниз при $a<0$; вершина всегда в точке $(0;0)$.

Глава 2 · § 8 Свойства функции Все темы Глава 2 · § 10 Построение графиков y = f(x) + b и y = f(x + a)

k = 2.0

Серая пунктирная парабола — это неизменный график $y=x^2$. Двигай ползунок $k$: фиолетовая парабола $y=kx^2$ растягивается, сжимается или переворачивается.