§ 10. Построение графиков функций y = f(x) + b и y = f(x + a)
🥾Из жизниПредставь профиль высоты туристического маршрута: по горизонтали — пройденное расстояние, по вертикали — высота над уровнем моря. Если ты решишь отсчитывать высоту не от уровня моря, а от базового лагеря, который на 200 м выше — весь график просто «поднимется» вверх на 200 единиц, а форма маршрута (все подъёмы и спуски) не изменится ни капли. Это ровно то, что происходит с графиком $y=f(x)+b$. А если точку отсчёта расстояния перенести на 2 км раньше по тропе — весь график сдвинется по горизонтали. Это уже случай $y=f(x+a)$.
Сдвиг вдоль оси ординат: $y=f(x)+b$
Покажем, как, используя график функции $y=x^2$, построить график функции $y=x^2+2$.
Составив таблицу значений этих функций при одних и тех же значениях аргумента, замечаем: каждой точке $(x_0;y_0)$ графика функции $y=x^2$ соответствует точка $(x_0;y_0+2)$ графика функции $y=x^2+2$. Поэтому все точки графика функции $y=x^2+2$ можно получить, заменив каждую точку графика функции $y=x^2$ на точку с той же абсциссой и с ординатой, увеличенной на 2.
Говорят, что график функции $y=x^2+2$ получен в результате параллельного переноса графика функции $y=x^2$ на 2 единицы вверх. Аналогично график функции $y=x^2-4$ можно получить в результате параллельного переноса графика функции $y=x^2$ на 4 единицы вниз.
📐Правило построения графика $y=f(x)+b$График функции $y=f(x)+b$ можно получить в результате параллельного переноса графика функции $y=f(x)$ на $b$ единиц вверх, если $b>0$, и на $-b$ единиц вниз, если $b<0$.
В результате параллельного переноса получаем фигуру, равную фигуре, являющейся графиком исходной функции. Например, каждый из графиков функций $y=x^2+2$ и $y=x^2-4$ равен параболе $y=x^2$.
Сдвиг вдоль оси абсцисс: $y=f(x+a)$
Покажем, как можно с помощью графика функции $y=x^2$ построить график функции $y=(x+2)^2$.
Пусть точка $(x_0;y_0)$ принадлежит графику функции $y=x^2$, т. е. $x_0^2=y_0$. Найдём значение функции $y=(x+2)^2$ в точке с абсциссой $x_0-2$: $((x_0-2)+2)^2=x_0^2=y_0$. Значит, каждой точке $(x_0;y_0)$ графика функции $y=x^2$ соответствует точка $(x_0-2;y_0)$ графика функции $y=(x+2)^2$.
Поэтому все точки графика функции $y=(x+2)^2$ можно получить, заменив каждую точку графика функции $y=x^2$ на точку с той же ординатой и абсциссой, уменьшенной на 2. Говорят, что график функции $y=(x+2)^2$ получен в результате параллельного переноса графика функции $y=x^2$ вдоль оси абсцисс на 2 единицы влево. Аналогично график функции $y=(x-2)^2$ получают переносом на 2 единицы вправо.
📐Правило построения графика $y=f(x+a)$График функции $y=f(x+a)$ можно получить в результате параллельного переноса графика функции $y=f(x)$ на $a$ единиц влево, если $a>0$, и на $-a$ единиц вправо, если $a<0$.
Заметим, что графиками функций $y=(x+2)^2$ и $y=(x-2)^2$ являются параболы, равные параболе $y=x^2$.
Совмещаем оба сдвига
Пример 1. Постройте график функции $y=(x-1)^2+3$.
Решение. 1) Строим график функции $y=x^2$. 2) Переносим его на 1 единицу вправо — получаем график $y=(x-1)^2$. 3) Переносим его на 3 единицы вверх — получаем график $y=(x-1)^2+3$.
Схема: $y=x^2 \to$ (вправо на 1) $\to y=(x-1)^2 \to$ (вверх на 3) $\to y=(x-1)^2+3$
🎯Общий выводГрафиком функции $y=k(x+a)^2+b$, где $k\ne0$, является парабола, равная параболе $y=kx^2$, вершина которой находится в точке $(-a;b)$.
Пример 2. Выделение полного квадрата
Постройте график функции $y=-2x^2-20x-47$.
1Вынесем $-2$ за скобки у первых двух слагаемых: $y=-2x^2-20x-47=-2(x^2+10x)-47$.
2Дополним скобку до полного квадрата: $-2(x^2+10x+25)+50-47=-2(x+5)^2+3$.
3Получили запись $y=kf(x+a)+b$, где $f(x)=x^2$, $k=-2$, $a=5$, $b=3$.
4Схема: $y=-2x^2\to$ (влево на 5) $\to y=-2(x+5)^2\to$ (вверх на 3) $\to y=-2(x+5)^2+3$. Вершина параболы — точка $(-5;3)$.
Справа — интерактивный график. Переключай вкладки «$y=f(x)+b$» и «$y=f(x+a)$» и двигай ползунок, чтобы увидеть каждый сдвиг отдельно.
⚠️Частая ошибкаС переносом по горизонтали интуиция часто обманывает: кажется, что $y=f(x+a)$ при $a>0$ должно сдвигать график вправо — ведь число прибавили. На самом деле всё наоборот: при $a>0$ график сдвигается влево, а при $a<0$ — вправо. Знак у $a$ внутри скобки действует «в противоход» интуиции. Проще всего проверить себя: найди, при каком $x$ выражение в скобке обращается в ноль ($x+a=0 \Rightarrow x=-a$) — вершина окажется именно там.
Запомни
🧠ГлавноеГрафик $y=f(x)+b$ — это график $y=f(x)$, сдвинутый по вертикали: вверх на $b$, если $b>0$, вниз на $-b$, если $b<0$. График $y=f(x+a)$ — это график $y=f(x)$, сдвинутый по горизонтали: влево на $a$, если $a>0$, вправо на $-a$, если $a<0$ (знак «наоборот»!). Оба переноса не меняют форму фигуры. График $y=k(x+a)^2+b$ — парабола, равная параболе $y=kx^2$, с вершиной в точке $(-a;b)$.