Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме деления
на нуль) — и результат снова будет действительным числом, причём единственным.
Раньше эти правила проверялись отдельно для натуральных, целых и рациональных
чисел. Теперь, когда у нас есть все действительные числа, полезно собрать их общие
свойства в одном месте — ими постоянно пользуются при преобразовании выражений и
решении уравнений, даже не задумываясь об этом.
💡 Из жизни: представь кассу в магазине. Не важно, в каком порядке
кассир пробивает молоко и хлеб — итоговая сумма чека одна и та же. И не важно,
сначала сложить цену молока с хлебом, а потом прибавить сдачу, или сначала сложить
хлеб со сдачей — результат тоже не изменится. Это и есть переместительный и
сочетательный законы в действии.
Свойства порядка
Определение. Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$
выполняется ровно одно из трёх соотношений: $a = b$, $a < b$ или $a > b$.
Кроме этого, порядок действительных чисел подчиняется ещё нескольким правилам:
1
Между любыми двумя разными числами $a < b$ всегда найдётся ещё одно число $c$,
такое что $a < c < b$ — числовая прямая нигде не имеет «пустот».
2
Транзитивность. Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$.
3
Если $a < b$, то $a + c < b + c$ для любого числа $c$ — прибавление
одного и того же числа к обеим частям неравенства его не меняет.
4
Если $a < b$ и $c$ — положительное число, то $a \cdot c < b \cdot c$
— умножение обеих частей на положительное число неравенство сохраняет.
Законы сложения и умножения
Для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$ справедливы равенства:
$$a + b = b + a$$
$$(a + b) + c = a + (b + c)$$
$$a \cdot b = b \cdot a$$
$$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$
$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$
А ещё — набор равенств с особыми числами $0$ и $1$, с противоположным и обратным числом:
$$a + 0 = a \qquad a + (-a) = 0 \qquad a - b = a + (-b)$$
$$a \cdot 1 = a \qquad a \cdot 0 = 0 \qquad -a = (-1)\cdot a$$
Если $a \neq 0$, число $\dfrac{1}{a}$ называют обратным к $a$ —
вместе $a$ и $\dfrac{1}{a}$ называют взаимно обратными числами:
$$a \cdot \frac{1}{a} = 1 \quad (a \neq 0) \qquad\qquad a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b} \quad (b \neq 0)$$
Подчеркнём: делить на нуль нельзя, поэтому запись $\dfrac{a}{0}$ не имеет смысла ни
для какого действительного числа $a$, в том числе и для $a = 0$.
Свойства степеней
Определение степени числа, данное раньше для натуральных и рациональных чисел,
остаётся в силе и для любых действительных чисел $a$ и $b$, где $m$ и $n$ —
натуральные показатели:
Сгруппируем удобные пары (сочетательный
закон умножения): $(25 \cdot 4) \cdot (7 \cdot 3) = 100 \cdot 21$.
3
Перемножаем: $100 \cdot 21 = 2100$.
А вот пример на распределительный закон:
$1{,}5 \cdot 7 = (1 + 0{,}5) \cdot 7 = 1 \cdot 7 + 0{,}5 \cdot 7 = 7 + 3{,}5 = 10{,}5$ —
удобное число разбили на сумму и раздали умножение по слагаемым.
Открой любой из этих законов в интерактиве справа и нажми «Показать переход».
Запомни
⚠️ Частая ошибка: зная, что $a + b = b + a$, ученики иногда решают,
что то же самое верно и для вычитания: $a - b = b - a$. Это неверно —
переместительный закон работает только для сложения и умножения. Вычитание и деление
не переместительны: например, $5 - 3 = 2$, а $3 - 5 = -2$ — это разные числа.
🧠 Тринадцать равенств этого пункта не нужно зубрить по отдельности — важно понимать
три главных инструмента: переместительный закон (можно менять порядок),
сочетательный закон (можно менять группировку) и
распределительный закон (умножение можно «раздать» по сумме). Плюс
помнить: обратное число $\dfrac{1}{a}$ существует только при $a \neq 0$, а делить на
нуль нельзя никогда.