7 класс · Действительные числа

Основные свойства действительных чисел

Действия с действительными числами

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (кроме деления на нуль) — и результат снова будет действительным числом, причём единственным. Раньше эти правила проверялись отдельно для натуральных, целых и рациональных чисел. Теперь, когда у нас есть все действительные числа, полезно собрать их общие свойства в одном месте — ими постоянно пользуются при преобразовании выражений и решении уравнений, даже не задумываясь об этом.

💡 Из жизни: представь кассу в магазине. Не важно, в каком порядке кассир пробивает молоко и хлеб — итоговая сумма чека одна и та же. И не важно, сначала сложить цену молока с хлебом, а потом прибавить сдачу, или сначала сложить хлеб со сдачей — результат тоже не изменится. Это и есть переместительный и сочетательный законы в действии.

Свойства порядка

Определение. Для любых двух действительных чисел $a$ и $b$ выполняется ровно одно из трёх соотношений: $a = b$, $a < b$ или $a > b$.

Кроме этого, порядок действительных чисел подчиняется ещё нескольким правилам:

1
Между любыми двумя разными числами $a < b$ всегда найдётся ещё одно число $c$, такое что $a < c < b$ — числовая прямая нигде не имеет «пустот».
2
Транзитивность. Если $a < b$ и $b < c$, то $a < c$.
3
Если $a < b$, то $a + c < b + c$ для любого числа $c$ — прибавление одного и того же числа к обеим частям неравенства его не меняет.
4
Если $a < b$ и $c$ — положительное число, то $a \cdot c < b \cdot c$ — умножение обеих частей на положительное число неравенство сохраняет.

Законы сложения и умножения

Для любых действительных чисел $a$, $b$ и $c$ справедливы равенства:

$$a + b = b + a$$

$$(a + b) + c = a + (b + c)$$

$$a \cdot b = b \cdot a$$

$$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$

$$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$$

А ещё — набор равенств с особыми числами $0$ и $1$, с противоположным и обратным числом:

$$a + 0 = a \qquad a + (-a) = 0 \qquad a - b = a + (-b)$$

$$a \cdot 1 = a \qquad a \cdot 0 = 0 \qquad -a = (-1)\cdot a$$

Если $a \neq 0$, число $\dfrac{1}{a}$ называют обратным к $a$ — вместе $a$ и $\dfrac{1}{a}$ называют взаимно обратными числами:

$$a \cdot \frac{1}{a} = 1 \quad (a \neq 0) \qquad\qquad a \cdot \frac{1}{b} = \frac{a}{b} \quad (b \neq 0)$$

Подчеркнём: делить на нуль нельзя, поэтому запись $\dfrac{a}{0}$ не имеет смысла ни для какого действительного числа $a$, в том числе и для $a = 0$.

Свойства степеней

Определение степени числа, данное раньше для натуральных и рациональных чисел, остаётся в силе и для любых действительных чисел $a$ и $b$, где $m$ и $n$ — натуральные показатели:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \qquad\qquad (a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Разбор примера

Вычислим удобным способом произведение $25 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 4$:

1
Переставим множители местами (переместительный закон умножения): $25 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 4 = 25 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3$.
2
Сгруппируем удобные пары (сочетательный закон умножения): $(25 \cdot 4) \cdot (7 \cdot 3) = 100 \cdot 21$.
3
Перемножаем: $100 \cdot 21 = 2100$.

А вот пример на распределительный закон: $1{,}5 \cdot 7 = (1 + 0{,}5) \cdot 7 = 1 \cdot 7 + 0{,}5 \cdot 7 = 7 + 3{,}5 = 10{,}5$ — удобное число разбили на сумму и раздали умножение по слагаемым.

Открой любой из этих законов в интерактиве и нажми «Показать переход».

Запомни

⚠️ Частая ошибка: зная, что $a + b = b + a$, ученики иногда решают, что то же самое верно и для вычитания: $a - b = b - a$. Это неверно — переместительный закон работает только для сложения и умножения. Вычитание и деление не переместительны: например, $5 - 3 = 2$, а $3 - 5 = -2$ — это разные числа.
🧠 Тринадцать равенств этого пункта не нужно зубрить по отдельности — важно понимать три главных инструмента: переместительный закон (можно менять порядок), сочетательный закон (можно менять группировку) и распределительный закон (умножение можно «раздать» по сумме). Плюс помнить: обратное число $\dfrac{1}{a}$ существует только при $a \neq 0$, а делить на нуль нельзя никогда.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике