🏀Из жизниНа уроках физики вы ознакомились с формулой $h = v_0 t - \tfrac{g t^2}{2}$, которая задаёт зависимость высоты $h$ тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью $v_0$, от времени движения $t$. Эта формула тоже задаёт квадратичную функцию. Мяч поднимается, достигает наибольшей высоты в вершине параболы, а затем падает — и весь путь описывается одной и той же кривой.
Определение
📘Квадратичная функцияФункцию, которую можно задать формулой вида $y = ax^2+bx+c$, где $x$ — независимая переменная, $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, причём $a\neq0$, называют квадратичной.
Квадратичная функция не является для вас новой. Так, в 8 классе вы изучали её частный случай — функцию $y=x^2$. Функциональная зависимость площади $S$ круга от его радиуса $r$ определяет квадратичную функцию $S(r)=\pi r^2$, которая является функцией вида $y=ax^2$.
Как получить график из $y=ax^2$
Покажем, как график квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ можно получить из графика функции $y=ax^2$. Выделим квадрат двучлена:
3Введём обозначения $x_0=-\dfrac{b}{2a}$, $y_0=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$. Тогда $y=a(x-x_0)^2+y_0$.
4График $y=ax^2$ переносится вправо или влево на $|x_0|$ единиц, затем вверх или вниз на $|y_0|$ единиц. Значит, графиком функции $y=ax^2+bx+c$ является парабола с вершиной в точке $(x_0;y_0)$, равная параболе $y=ax^2$.
Вершина, ось симметрии, ветви
📍Ось симметрииОсью симметрии параболы $y=ax^2+bx+c$ является прямая, проходящая через вершину и перпендикулярная оси абсцисс, т. е. прямая $x=-\dfrac{b}{2a}$.
↕️Ветви параболыВетви параболы $y=ax^2+bx+c$ направлены так же, как и ветви параболы $y=ax^2$: если $a>0$, то ветви направлены вверх, если $a<0$ — вниз.
Схема построения графика квадратичной функции
Общее представление о графике квадратичной функции дают координаты вершины параболы и направление её ветвей. Поэтому график можно строить по такой схеме:
найти абсциссу вершины параболы по формуле $x_0=-\tfrac{b}{2a}$;
найти ординату вершины параболы, вычислив значение функции в точке $x_0$, и отметить вершину параболы на координатной плоскости;
определить направление ветвей параболы;
вычислить координаты нескольких точек графика, в частности координаты точек пересечения с осью абсцисс (если функция имеет нули) и координату точки пересечения с осью ординат;
провести через все отмеченные точки плавную непрерывную линию.
Пример. Постройте график функции $f(x)=x^2+4x-5$
Используя график, найдём область значений, промежутки возрастания и убывания, промежутки знакопостоянства, наименьшее и наибольшее значения функции.
1Функция $f(x)=x^2+4x-5$ — квадратичная, $a=1>0$, значит ветви параболы направлены вверх. Абсцисса вершины: $x_0=-\tfrac{4}{2}=-2$; ордината: $y_0=f(-2)=4-8-5=-9$. Точка $(-2;-9)$ — вершина параболы.
2Найдём точки пересечения с осью абсцисс: решим $x^2+4x-5=0$. Отсюда $x_1=-5$, $x_2=1$. Парабола пересекает ось абсцисс в точках $(-5;0)$ и $(1;0)$.
3Точка пересечения с осью ординат: $f(0)=-5$, значит парабола пересекает ось ординат в точке $(0;-5)$.
4По построенному графику: $E(f)=[-9;+\infty)$; функция возрастает на $[-2;+\infty)$ и убывает на $(-\infty;-2]$; $f(x)>0$ на $(-\infty;-5)$ и на $(1;+\infty)$, $f(x)<0$ на $(-5;1)$; наименьшее значение функции равно $-9$, наибольшего не существует.
Справа — интерактивный график $y=ax^2+bx+c$. Двигай ползунки $a$, $b$, $c$ и смотри, как меняются вершина, ось симметрии и ветви параболы.
⚠️Частая ошибкаВ формуле $x_0=-\tfrac{b}{2a}$ часто теряют знак «минус» и считают $x_0=\tfrac{b}{2a}$. Например, для $f(x)=x^2+4x-5$ по неверной формуле получили бы $x_0=2$, хотя на самом деле $x_0=-2$. Проверить себя просто: подставь найденный $x_0$ в функцию и в производную (или просто в исходную формулу) — вершина должна лежать ровно на параболе, а знак $x_0$ обязан быть противоположен знаку $\tfrac{b}{a}$.
Запомни
🧠ГлавноеКвадратичная функция $y=ax^2+bx+c$ ($a\neq0$) — парабола с вершиной в точке $(x_0;y_0)$, где $x_0=-\tfrac{b}{2a}$, $y_0=\tfrac{4ac-b^2}{4a}$ (или просто $y_0=f(x_0)$). Ось симметрии — прямая $x=-\tfrac{b}{2a}$. Ветви направлены вверх, если $a>0$, и вниз, если $a<0$. Парабола $y=ax^2+bx+c$ равна параболе $y=ax^2$.