🏀Из жизниНа прошлом уроке ты строил график высоты мяча, брошенного вертикально вверх: $h(t) = v_0 t - \tfrac{g t^2}{2}$. График — парабола. А что если спросить не «когда высота равна нулю», а «когда мяч находится выше определённой отметки»? Тогда вместо уравнения нужно решить неравенство, например $v_0 t - \tfrac{g}{2}t^2 > 15$. Здесь переменная стоит в квадрате — такие неравенства называют квадратными, и решают их с помощью того же графика параболы, которым ты уже умеешь пользоваться.
Определение
📘Квадратные неравенстваНеравенства вида $ax^2+bx+c > 0$, $ax^2+bx+c < 0$, $ax^2+bx+c \ge 0$, $ax^2+bx+c \le 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа, причём $a\neq0$, называют квадратными.
Графический метод
Пусть дан график некоторой функции $y=f(x)$, областью определения которой является множество действительных чисел. С помощью этого графика легко определить промежутки знакопостоянства функции $f$: там, где график расположен над осью абсцисс, функция положительна ($f(x) > 0$); там, где график расположен под осью абсцисс, функция отрицательна ($f(x) < 0$).
Определив промежутки знакопостоянства функции $f$, мы тем самым решили неравенства $f(x) > 0$ и $f(x) < 0$. Такой метод решения неравенств с помощью графика функции $y=f(x)$ называют графическим.
Наличие и количество нулей квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ определяют с помощью дискриминанта $D=b^2-4ac$: если $D > 0$, то нулей у функции два, если $D=0$, то нуль один, если $D < 0$, то нулей нет. Знак старшего коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы: при $a > 0$ ветви направлены вверх, при $a < 0$ — вниз.
касается $Ox$ в точке $x_0$, ветви вверх, вся парабола не ниже оси
целиком выше оси $Ox$, ветви вверх
$a < 0$
пересекает $Ox$ в точках $x_1 < x_2$, ветви вниз
касается $Ox$ в точке $x_0$, ветви вниз, вся парабола не выше оси
целиком ниже оси $Ox$, ветви вниз
Например, чтобы решить неравенство $ax^2+bx+c > 0$ при $a < 0$ и $D > 0$: ответом будет промежуток $(x_1;\,x_2)$, на котором график расположен над осью абсцисс.
3График функции $y=2x^2-x-1$ — парабола с ветвями вверх, пересекающая ось $Ox$ в точках $-\tfrac12$ и $1$.
4Соответствующая квадратичная функция принимает положительные значения на каждом из промежутков $(-\infty;-\tfrac12)$ и $(1;+\infty)$. Ответ: $(-\infty;-\tfrac12)\cup(1;+\infty)$.
Справа — интерактивный график неравенства $ax^2+bx+c$ со знаком сравнения с нулём. Двигай ползунки $a$, $b$, $c$, выбирай знак неравенства и смотри, как закрашенная область на графике превращается в промежуток на числовой прямой снизу.
⚠️Частая ошибкаПри решении неравенства вида $-9x^2+6x-1 < 0$ его иногда умножают на $-1$, чтобы избавиться от минуса перед $x^2$, но забывают поменять знак неравенства на противоположный. Правильно: неравенство $-9x^2+6x-1 < 0$ равносильно $9x^2-6x+1 > 0$ — знак неравенства обязательно меняется на противоположный, когда обе части умножают (или делят) на отрицательное число.
Запомни
🧠ГлавноеКвадратное неравенство $ax^2+bx+c \gtrless 0$ решают графически: находят дискриминант $D=b^2-4ac$ и по знаку $a$ и $D$ определяют, как парабола $y=ax^2+bx+c$ расположена относительно оси $Ox$ (см. таблицу выше), а затем по графику читают промежутки, где функция положительна или отрицательна.