9 класс · Квадратичная функция

Системы уравнений с двумя переменными

🛰️ Из жизниКогда навигатор в телефоне ищет твоё местоположение, он измеряет расстояние до нескольких спутников. Все точки, находящиеся на одинаковом расстоянии $R$ от спутника с координатами $(a;b)$, лежат на окружности $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. Расстояние до одного спутника — это одно такое уравнение, а координаты твоего телефона должны подходить сразу под несколько таких уравнений одновременно — то есть под систему уравнений с двумя переменными. Решение системы — это и есть точка (или точки) пересечения всех этих окружностей.

Графический метод

📘 Идея графического методаЕго суть заключается в поиске координат общих точек графиков уравнений, входящих в систему.

Графиком уравнения $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$, где $R>0$, является окружность радиуса $R$ с центром $(a;b)$. Вы также умеете строить график квадратичной функции. Всё это расширяет возможности графического метода при решении систем уравнений.

Графический метод эффективен тогда, когда нужно определить количество решений или достаточно найти их приближённые значения — точные координаты точек пересечения на глаз, как правило, найти не удаётся.

Пример 1. Графический метод и метод подстановки

Решите систему уравнений:

$$\begin{cases}x^2-4x-y+3=0,\\y-x+1=0.\end{cases}$$
1 Первое уравнение равносильно такому: $y=x^2-4x+3$. Его график — парабола.
2 Графиком второго уравнения является прямая $y=x-1$, которая пересекает параболу в двух точках: $(1;0)$ и $(4;3)$.
3 Проверим методом подстановки. Выразим $y$ через $x$ из второго уравнения: $y=x-1$. Подставим в первое: $x^2-4x-(x-1)+3=0$, то есть $x^2-5x+4=0$. Отсюда $x_1=1$, $x_2=4$.
4 Найдём $y$ из $y=x-1$: $y_1=0$, $y_2=3$. Ответ: $(1;0)$, $(4;3)$.

Пример 2. Метод сложения

Определите количество решений системы уравнений:

$$\begin{cases}x^2+y^2=9,\\xy=3{,}5.\end{cases}$$
1 Графиком первого уравнения является окружность с центром $(0;0)$ радиуса $3$. Второе уравнение равносильно $y=\tfrac{3{,}5}{x}$ — это гипербола. Графики пересекаются в четырёх точках, значит, система имеет четыре решения.
2 Найдём точные значения методом сложения. Умножим второе уравнение на $2$: $2xy=7$. Сложим почленно с первым: $x^2+y^2+2xy=16$, то есть $(x+y)^2=16$. Отсюда $x+y=4$ или $x+y=-4$.
3 Решаем две более простые системы: $\{x+y=4,\ xy=3{,}5\}$ и $\{x+y=-4,\ xy=3{,}5\}$ — по теореме, обратной теореме Виета, числа $x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2-4t+3{,}5=0$ (или $t^2+4t+3{,}5=0$).
4 Из $t^2-4t+3{,}5=0$: $D=2$, $t=2\pm\tfrac{\sqrt2}{2}$. Точки пересечения: $(2{,}71;\,1{,}29)$, $(1{,}29;\,2{,}71)$ и симметричные им $(-2{,}71;\,-1{,}29)$, $(-1{,}29;\,-2{,}71)$.

Пример 3. Метод замены переменных

Решите систему уравнений:

$$\begin{cases}\dfrac{x+y}{x-y}+\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{5}{2},\\x^2+y^2=10.\end{cases}$$

Пусть $\tfrac{x+y}{x-y}=t$. Тогда $\tfrac{x-y}{x+y}=\tfrac1t$, и первое уравнение принимает вид $t+\tfrac1t=\tfrac52$, то есть $2t^2-5t+2=0$. Отсюда $t_1=2$, $t_2=\tfrac12$.

Если $t=2$, то $x+y=2x-2y$, т. е. $x=3y$; подставим в $x^2+y^2=10$: $10y^2=10$, $y_1=1$, $y_2=-1$, тогда $x_1=3$, $x_2=-3$.

Если $t=\tfrac12$, то $2x+2y=x-y$, т. е. $x=-3y$; подставим в $x^2+y^2=10$: $10y^2=10$, $y_3=1$, $y_4=-1$, тогда $x_3=-3$, $x_4=3$.

Ответ: $(3;1)$, $(-3;-1)$, $(-3;1)$, $(3;-1)$.

Пример 4. Теорема, обратная теореме Виета

Решите систему уравнений:

$$\begin{cases}2(x+y)+xy=8,\\x^2+y^2+3x+3y=14.\end{cases}$$

Система не изменится, если поменять местами $x$ и $y$ — в таких случаях удобна замена $x+y=u$, $xy=v$. Система примет вид $2u+v=8$, $u^2-2v+3u=14$. Решив методом подстановки, получаем $u=3$, $v=2$ или $u=-10$, $v=28$.

Остаётся решить $\{x+y=3,\ xy=2\}$ и $\{x+y=-10,\ xy=28\}$. По теореме, обратной теореме Виета, для первой системы $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2-3t+2=0$, то есть $t_1=1$, $t_2=2$: пары $(1;2)$ и $(2;1)$.

Для второй системы дискриминант уравнения $t^2+10t+28=0$ отрицателен — решений нет. Ответ: $(1;2)$, $(2;1)$.

⚠️ Частая ошибкаКогда система имеет несколько решений (как в примерах выше, где для $x$ находят $x_1$ и $x_2$, а для $y$ — $y_1$ и $y_2$), пары чисел иногда составляют как попало — например, берут $x_1$ вместе с $y_2$. Так делать нельзя: пара $(x;y)$ — это решение только тогда, когда оба числа получены из одного и того же случая (одного и того же значения $t$, $u$ или корня уравнения). Обязательно подставляй готовую пару в исходную систему для проверки.

Запомни

🧠 Методы решения систем уравнений с двумя переменными
  • Графический — построить графики уравнений и найти координаты точек их пересечения; хорош для определения количества решений или приближённых значений.
  • Подстановки — выразить одну переменную через другую из одного уравнения и подставить в другое.
  • Сложения — сложить (или вычесть) уравнения системы, домноженные на подходящие числа, чтобы получить более простое уравнение.
  • Замены переменных — ввести новую переменную ($t=\tfrac{x}{y}$, или $u=x+y$, $v=xy$ для симметричных систем).
  • Теорема, обратная теореме Виета — для системы $\{x+y=p,\ xy=q\}$ числа $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2-pt+q=0$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике