✈️Из жизниТермин «модель» (от лат. modulus — «образец») мы употребляем очень часто: модель самолёта, модель атомного ядра, модель Солнечной системы, модель какого-то процесса или явления и т. п. Изучая свойства модели объекта, мы тем самым изучаем свойства самого объекта. Так и в математике: реальную задачу — про балки, туристов, работу — переводят на язык уравнений, изучают уже само уравнение, а потом возвращают ответ обратно «на язык» исходной задачи.
Математическая модель и прикладная задача
Формулировки задач из разных областей знаний содержат нематематические понятия. Если математик участвует в решении такой задачи, то он в первую очередь стремится перевести её на «родной», математический, язык — язык выражений, формул, уравнений, неравенств, функций, графиков и т. д.
📘ОпределениеРезультат такого перевода называют математической моделью, а саму задачу — прикладной задачей.
📐Математическое моделированиеОбласть математики, которая занимается построением и изучением математических моделей, называют математическим моделированием.
Примеры прикладных задач и их моделей
Прикладная задача
Математическая модель
1 кг картофеля стоит 24 р. Сколько картофеля можно купить за 120 р.?
Чему равно частное $120:24$?
В магазине 3 вида чашек и 2 вида тарелок. Сколько способов составить набор из одной чашки и одной тарелки?
Чему равно произведение $3\cdot2$?
На стоянке было несколько машин. Когда 5 уехало, осталось 2. Сколько машин было сначала?
Найдите корень уравнения $x-5=2$
Автомобиль тратит 7,8 л бензина на 100 км. Хватит ли 20 л, чтобы проехать 233 км?
Сравните $\tfrac{7{,}8\cdot233}{100}$ с числом $20$
Три этапа решения прикладной задачи
Цель решения любой задачи — получить верный ответ. Поэтому составление математической модели — только первый этап.
1Построение математической модели. Требует знаний в той области, к которой относится прикладная задача.
2Решение математической задачи. Здесь уже чистая математика: вычисление выражений, решение уравнений, неравенств и их систем, построение графиков.
3Анализ результата, исходя из содержания прикладной задачи. Результат нужно записать на языке прикладной задачи и проверить, соответствует ли он условию — ведь, например, ответ «1,5 ученика» не может быть приемлемым ни для одной прикладной задачи.
Пример 1. Две балки
Масса деревянной балки — 120 кг, железной — 140 кг, причём железная балка на 1 м короче деревянной. Какова длина каждой балки, если масса 1 м железной балки на 5 кг больше массы 1 м деревянной?
1Пусть длина деревянной балки — $x$ м, тогда железной — $(x-1)$ м. Масса 1 м деревянной балки — $\tfrac{120}{x}$ кг, железной — $\tfrac{140}{x-1}$ кг. По условию их разность равна 5 кг — получаем уравнение:
2$$\dfrac{140}{x-1}-\dfrac{120}{x}=5$$ После приведения к общему знаменателю получаем квадратное уравнение $x^2-5x-24=0$ (с учётом $x\ne0$, $x\ne1$). Его корни: $x=8$ или $x=-3$.
3Анализ: корень $x=-3$ не подходит — длина балки не может выражаться отрицательным числом.
4Ответ: длина деревянной балки — 8 м, железной — 7 м.
Пример 2. Два туриста
Из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста и встретились через 2 ч. С какой скоростью шёл каждый, если для прохождения всего пути первому нужно на 54 мин больше, чем второму?
1Пусть скорость первого туриста — $x$ км/ч, второго — $y$ км/ч ($x \lt y$). За 2 ч навстречу друг другу они прошли вместе всё расстояние: $2x+2y=18$, то есть $x+y=9$. Первому нужно на $54$ мин $=\tfrac{9}{10}$ ч больше, чем второму — получаем систему:
2$$\begin{cases}x+y=9,\\ \dfrac{18}{x}-\dfrac{18}{y}=\dfrac{9}{10}.\end{cases}$$ Выразив $x=9-y$ и подставив во второе уравнение, получаем квадратное уравнение относительно $y$: $y^2+31y-180=0$, откуда $y=5$ или $y=-36$.
3Анализ: корень $y=-36$ не подходит — скорость не может быть отрицательной.
4Ответ: $x=4$ км/ч, $y=5$ км/ч.
⚠️Частая ошибкаУченик находит корни уравнения (или системы) и сразу записывает их в ответ, забывая про третий этап — анализ. Но не любой корень уравнения годится: например, длина, масса, скорость, время не могут быть отрицательными, а количество деталей или учеников — дробным. Всегда возвращайся к условию прикладной задачи и проверяй, какой из корней ему подходит.
Запомни
🧠Решение прикладной задачи — всегда три этапа
I. Построение математической модели — перевод условия на язык уравнений/выражений/функций.
II. Решение полученной математической задачи — уже чистая математика.
III. Анализ результата — проверка, какой из корней имеет смысл в условиях исходной задачи.
При оформлении решения необязательно явно выписывать названия этапов — важно, чтобы все три были реально пройдены.