Многие действительные числа задаются бесконечными десятичными дробями — записать их
полностью просто невозможно, да и не нужно. На практике всегда берут число, которое
лишь немного отличается от нужного, но зато его удобно записывать и с ним удобно
считать.
💡 Из жизни: спидометр в машине показывает «60 км/ч», хотя на самом
деле скорость может быть 60,3 км/ч или 59,8 км/ч — прибор округляет. То же самое
делает касса в магазине, весы на рынке или калькулятор на экране телефона: точное
число заменяют удобным приближённым.
Определение. Если число $a_1$ мало отличается от числа $a$, то
пишут $a \approx a_1$ и говорят, что $a_1$ — приближение числа $a$
(число $a$ приближённо равно $a_1$). Знак $\approx$ — знак приближённого равенства.
Если $a_1 < a$, то $a_1$ называют приближением $a$ с недостатком
(снизу). Если $a_1 > a$, то $a_1$ называют приближением $a$ с избытком
(сверху). Если же $a_1 = a$ — можно назвать его приближением как снизу, так и сверху.
Как подобрать приближения бесконечной дроби
Пусть $a = 2{,}3(28)$ —
бесконечная периодическая дробь. Оборвём её на цифре второго разряда — получим число
$2{,}32$, которое меньше $a$. Если у числа $2{,}32$ увеличить последнюю цифру на 1, то
получим $2{,}33$ — число, которое больше $a$. Значит:
$$2{,}32 < a < 2{,}33$$
1
$2{,}32$ — приближение $a$ с точностью до $0{,}01$ с недостатком
(снизу).
2
$2{,}33$ — приближение $a$ с точностью до $0{,}01$ с избытком
(сверху). Так как третья цифра после запятой у числа $a$ (это $8$) больше $5$,
число $2{,}33$ — ещё и приближение с округлением.
3
Если взять на разряд точнее — до
одной тысячной — получится $2{,}328 < a < 2{,}329$, где $2{,}328$ теперь и
приближение снизу, и приближение с округлением (следующая цифра — $2$, она меньше
$5$).
Чем больше разрядов берём, тем ближе приближение к самому числу — попробуй переключить
точность в интерактиве справа.
Значащие цифры и округление
Определение.Значащей цифрой десятичной дроби
называют её первую (слева направо) отличную от нуля цифру, а также все цифры,
стоящие после неё.
Например, в числе $235\,000$ все цифры значащие; в числе $0{,}302$ значащие цифры —
это $3$, $0$ и $2$ после запятой; в числе $0{,}003004$ значащими считаются цифры,
начиная с первой тройки.
Округлить число с точностью, например, до третьей значащей цифры — значит округлить
его до того разряда, где стоит третья значащая цифра, заменив следующие цифры нулями.
Примеры округления с точностью до третьей значащей цифры:
Попробуй сам — округли число $1039{,}9301$
до разной значащей цифры в интерактиве справа.
Приближённые сложение, вычитание, умножение и деление
Сумма (разность, произведение, частное) двух чисел считается приближённо равной сумме
(разности, произведению, частному) их приближённых значений. Чтобы всё было правильно,
числа нужно предварительно правильно округлить.
1
Сложение и вычитание. Округляют оба числа с
одинаковой точностью (например до одной сотой), затем складывают
или вычитают полученные приближения.
2
Пример 1. Найдём $a + b$ и $a - b$ для $a = 23{,}1834567$,
$b = -4{,}2375$ с точностью до одной сотой. Округляем: $a \approx 23{,}18$,
$b \approx -4{,}24$. Тогда $a + b \approx 18{,}94$, $\; a - b \approx 27{,}42$.
3
Умножение и деление. Округляют оба числа с одинаковой точностью
до одной и той же значащей цифры, перемножают (делят) приближения,
а результат снова округляют до той же значащей цифры.
4
Пример 2. Пусть $a = 135{,}78665$, $b = 0{,}0068751$. Округляя
до третьей значащей цифры: $a \approx 136$, $b \approx 0{,}00688$. Тогда
$a \cdot b \approx 0{,}936$, $\; a/b \approx 19\,800$.
Запомни
⚠️ Частая ошибка: округлять числа слишком грубо ещё до вычислений и
думать, что на результат это не повлияет. Например, для $a = 1{,}445$ при округлении
числа и результата до первой значащей цифры получаем $a^2 \approx 1 \cdot 1 = 1$ —
ошибка около $52\%$ от точного значения $2{,}088025$. А при округлении до третьей
значащей цифры $a^2 \approx 1{,}45 \cdot 1{,}45 = 2{,}10$ — ошибка меньше $0{,}6\%$.
Чем грубее округление, тем сильнее «съезжает» итоговый ответ.
🧠 Число $a_1$ — приближение числа $a$, если $a_1 \approx a$; снизу
(с недостатком), если $a_1 < a$, и сверху (с избытком), если
$a_1 > a$. Значащие цифры — это первая ненулевая цифра числа и всё, что после неё.
При сложении/вычитании округляют до одинакового разряда, при умножении/делении — до
одинаковой значащей цифры, и результат округляют так же.