Алгебра · 9 класс · Глава 4 · § 21

§ 21. Числовые последовательности

🔢 Из жизниНомера имеют месяцы и кварталы года, дни недели, подъезды и квартиры дома, вагоны поезда — и даже каждый ученик класса имеет свой порядковый номер в журнале. Когда объекты пронумерованы подряд натуральными числами 1, 2, 3, …, удобно говорить не «этот объект», а «объект номер n» — так возникает понятие последовательности.

Что такое числовая последовательность

Объекты, которые пронумерованы подряд натуральными числами 1, 2, 3, …, n, …, образуют последовательность. Сами объекты называют членами последовательности, а номер объекта — его индексом. Если член последовательности имеет номер n, его называют n-м членом последовательности.

📘 Числовая последовательностьПоследовательность, членами которой являются числа, называют числовой последовательностью.

Для членов последовательности используют буквы с индексами: $a_1,\ a_2,\ a_3,\, \ldots,\, a_n,\, \ldots$ — индекс указывает порядковый номер члена. Саму последовательность обозначают $(a_n)$.

Примеры: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \ldots$ (натуральные числа); $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ \ldots$ (чётные числа); $0{,}3;\ 0{,}33;\ 0{,}333;\ \ldots$ (десятичные приближения дроби $\tfrac13$).

Конечные и бесконечные последовательности

Последовательности бывают конечными и бесконечными. Последовательность чётных натуральных чисел — бесконечная: она не обрывается ни на каком номере. А вот последовательность двузначных чисел, кратных 19 — $19,\ 38,\ 57,\ 76,\ 95$ — конечная: пятым членом она заканчивается.

Последовательность $-1,\ -2,\ -3,\ -4,\ -5,\ \ldots$ (отрицательные целые числа) — тоже бесконечная числовая последовательность.

Способ 1 и 2 — описание и таблица

Описательный способ. Например: первый член равен 1, а каждый следующий — на 3 больше предыдущего: $1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13,\ 16,\ 19,\ \ldots$ Такую запись удобно применять, когда понятно, какие числа стоят вместо многоточия.

С помощью таблицы (для конечных последовательностей). Например, таблица кубов однозначных натуральных чисел: при $n = 1, 2, \ldots, 9$ получаем $a_n = 1,\ 8,\ 27,\ 64,\ 125,\ 216,\ 343,\ 512,\ 729$.

Способ 3 — формула n-го члена

Самый удобный способ: формула, которая по номеру n сразу вычисляет значение члена, без перебора всех предыдущих.

  • $x_n = 2^n$ задаёт степени числа 2: $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ \ldots$
  • $a_n = 2n - 1$ задаёт нечётные числа: $1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ \ldots$
  • $y_n = (-1)^n$ задаёт последовательность, где нечётные номера дают $-1$, а чётные — $1$: $-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \ldots$
  • $c_n = 7$ задаёт последовательность, все члены которой равны 7.

Формула n-го члена — это, по сути, функция, заданная на множестве натуральных чисел: $y = f(x)$, где вместо $x$ подставляют номер $n$. Например, $f(x) = x^2$ на натуральных числах задаёт последовательность квадратов: $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ \ldots$

Способ 4 — рекуррентный способ

Иногда последовательность задают правилом, которое позволяет найти следующий член, зная предыдущий (или несколько предыдущих). Рассмотрим последовательность $(a_n)$: первый член равен 1, а каждый следующий — в 3 раза больше предыдущего: $1,\ 3,\ 9,\ 27,\ 81,\ \ldots$ Эту последовательность задают условия: $$a_1 = 1,\qquad a_{n+1} = 3a_n.$$

📘 Рекуррентная формулаФормулу, выражающую член последовательности через один или несколько предыдущих членов, называют рекуррентной формулой (от лат. recurro — «возвращаться»). Условия, определяющие первый (или несколько первых) членов, называют начальными условиями. Способ задания с их помощью называют рекуррентным способом.

При таком способе, чтобы узнать сотый член, придётся вычислить все 99 предыдущих один за другим. Формула n-го члена в этом смысле удобнее: зная лишь номер, можно сразу найти нужный член.

Пример: проверка принадлежности числа последовательности

Последовательность $(c_n)$ задана формулой n-го члена $c_n = 37 - 3n$. Является ли членом этой последовательности число: 1) 19; 2) −7? Если да — указать номер.

1
Если 19 — член последовательности, должно существовать натуральное $n$, при котором $37 - 3n = 19$. Отсюда $3n = 18$, $n = 6$ — число натуральное. Значит, 19 — шестой член последовательности.
2
Проверим $-7$: $37 - 3n = -7$, откуда $3n = 44$, $n = 14\tfrac23$. Число $14\tfrac23$ не натуральное (не целое!) — значит, $-7$ не является членом этой последовательности, каким бы ни было решение уравнения.
3
Ответ: 1) является, $n = 6$; 2) не является.
⚠️ Частая ошибкаРешив уравнение $c_n = $ заданное число, ученики часто забывают проверить, что найденное $n$ — натуральное число (целое и положительное, начиная с 1). Если $n$ получилось дробным или отрицательным — число НЕ является членом последовательности, даже если уравнение «красиво» решилось. Как в примере выше: $n = 14\tfrac23$ — это не ошибка вычислений, а сигнал, что ответ «нет».

Числа Фибоначчи — рекуррентность в природе

Последовательность $(u_n)$, заданная рекуррентно: $u_1 = u_2 = 1,\ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$, начинается так: $1,\ 1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 8,\ 13,\ 21,\ 34,\ 55,\ 89,\ \ldots$ Это числа Фибоначчи, названные в честь итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи, 1170–1228).

Отношение соседних членов $u_{n+1}/u_n$ с ростом $n$ приближается к числу $\tfrac{\sqrt5+1}{2} \approx 1{,}618$ — его называют золотым сечением. Спирали в шишках, семенах подсолнуха и пропорциях Парфенона связывают именно с этим числом.

Запомни

🧠 Последовательность и способы её задания
  • Последовательность — объекты, пронумерованные подряд числами $1, 2, 3, \ldots$; числовая, если это числа;
  • бывают конечными и бесконечными;
  • 4 способа задания: описательный, таблицей, формулой n-го члена $a_n = f(n)$, рекуррентно (через $a_1$ и правило $a_{n+1} = \ldots$);
  • проверяя, является ли число членом последовательности по формуле — не забудь убедиться, что найденный номер натуральный.
Глава 3 · § 20 Начальные сведения о статистике Все темы Глава 4 · § 22 Арифметическая прогрессия
Выбери способ задания и формулу — посмотри, как выглядят первые члены последовательности
8