Алгебра · 9 класс · Глава 4 · § 22

§ 22. Арифметическая прогрессия

🪜 Из жизниПредставь лестницу, у которой все ступеньки одной высоты. Поднимаясь, ты каждый раз прибавляешь к своей высоте одно и то же число — высоту ступеньки. Именно так устроена арифметическая прогрессия: чтобы получить следующий член, к предыдущему каждый раз прибавляют одно и то же число. На интерактиве справа эта «высота ступеньки» — разность $d$, а столбцы — сами члены прогрессии.

Что общего у этих последовательностей

Рассмотрим три последовательности:

$2,\ 7,\ 12,\ 17,\ 22,\ 27,\ \ldots$

$1;\ 1{,}5;\ 2;\ 2{,}5;\ 3;\ 3{,}5;\ \ldots$

$3,\ 1,\ -1,\ -3,\ -5,\ -7,\ \ldots$

Каждый следующий член здесь получен прибавлением к предыдущему одного и того же числа: для первой последовательности это число равно $5$, для второй — $0{,}5$, для третьей — $-2$. Такие последовательности называют арифметическими прогрессиями (от лат. progressio — «движение вперёд») — ими люди пользовались ещё в древности, считая предметы парами, пятёрками, десятками, дюжинами.

Определение и разность прогрессии

📘 Арифметическая прогрессияАрифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Число, равное разности последующего и предыдущего членов, называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой $d$ (от лат. differentia — «разность»).

Если $(a_n)$ — арифметическая прогрессия с разностью $d$, то $d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = \ldots$, т. е. для любого натурального $n$ выполняется $a_{n+1} - a_n = d$. Отсюда $a_{n+1} = a_n + d$.

Рекуррентное задание прогрессии

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член $a_1$ и разность $d$: $$a_1 = a,\qquad a_{n+1} = a_n + d.$$

Например, если $a_1 = 2$ и $d = 5$ — получим прогрессию $2,\ 7,\ 12,\ 17,\ 22,\ 27,\ \ldots$ Если $a_1 = 1$ и $d = 2$ — последовательность нечётных чисел $1,\ 3,\ 5,\ 7,\ 9,\ 11,\ \ldots$

Разность $d$ может быть отрицательной и даже нулевой. Так, последовательность $5,\ 5,\ 5,\ 5,\ \ldots$, все члены которой равны между собой, — тоже арифметическая прогрессия, у которой $a_1 = 5$, $d = 0$.

Формула n-го члена

Из определения прогрессии $(a_n)$ шаг за шагом выразим любой член через первый:

1
$a_2 = a_1 + d$
2
$a_3 = a_2 + d = a_1 + d\cdot 2$
3
$a_4 = a_3 + d = a_1 + d\cdot 3$
4
$a_5 = a_4 + d = a_1 + d\cdot 4$

Закономерность видна: чтобы найти член прогрессии, к первому члену прибавляют произведение разности $d$ и числа, на $1$ меньшего, чем номер искомого члена:

$$a_n = a_1 + d(n - 1)$$

Это равенство называют формулой n-го члена арифметической прогрессии. Она же — та формула, по которой строится интерактив справа: подвигай ползунки $a_1$ и $d$ и увидишь, как меняются столбцы.

Характеристическое свойство

У членов арифметической прогрессии есть важное свойство. Так как $a_3 - a_2 = a_2 - a_1$, отсюда $2a_2 = a_1 + a_3$, т. е. $a_2 = \dfrac{a_1 + a_3}{2}$. Аналогично $a_3 = \dfrac{a_2 + a_4}{2}$. Вообще, для любого натурального $n > 1$:

$$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$$
📘 Характеристическое свойствоЛюбой член арифметической прогрессии, кроме первого (и последнего, если прогрессия конечна), равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов.

Пример: доказать, что последовательность — арифметическая прогрессия

Докажите, что последовательность $(a_n)$, заданная формулой n-го члена $a_n = 9n - 2$, является арифметической прогрессией.

1
Рассмотрим разность двух произвольных последовательных членов: $a_{n+1} - a_n = 9(n+1) - 2 - (9n - 2)$.
2
Раскроем скобки: $9n + 9 - 2 - 9n + 2 = 9$.
3
Значит, при любом натуральном $n$ выполняется $a_{n+1} = a_n + 9$ — каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $9$. Следовательно, данная последовательность — арифметическая прогрессия с разностью $d = 9$.

Запомни

🧠 Арифметическая прогрессия
  • Каждый член, начиная со второго, получен прибавлением к предыдущему одного и того же числа $d$ — разности прогрессии;
  • рекуррентно: $a_1 = a,\ a_{n+1} = a_n + d$;
  • формула n-го члена: $a_n = a_1 + d(n-1)$;
  • характеристическое свойство: $a_n = \dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ — средний член равен среднему арифметическому соседей;
  • $d$ может быть отрицательным или равным нулю (тогда все члены равны).
Глава 4 · § 21 Числовые последовательности Все темы Глава 4 · § 23 Сумма n первых членов прогрессии
Подвигай ползунки $a_1$ и $d$ — посмотри, как меняются члены прогрессии
2
5
6