§ 23. Сумма n первых членов арифметической прогрессии
🧮ИсторияРассказывают, что выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс придумал остроумный приём для сложения чисел от $1$ до $100$ ещё в возрасте пяти лет. Вместо того чтобы складывать все сто чисел подряд, он заметил: если сложить прогрессию саму с собой, но во второй раз — в обратном порядке, каждая пара даёт одно и то же число. На интерактиве справа верхний и нижний ряды столбцов — это как раз прогрессия и та же прогрессия, записанная в обратном порядке.
Приём Гаусса на примере 1–100
Рассмотрим арифметическую прогрессию $1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ 98,\ 99,\ 100$ и найдём сумму её членов. Запишем искомую сумму двумя способами и сложим полученные равенства:
Складывая почленно, каждая из $100$ пар в сумме даёт $101$, поэтому:
$$2S_{100} = 101\cdot 100,\qquad S_{100} = 5050$$
Вывод общей формулы
Воспользуемся этим же приёмом для суммы $n$ первых членов произвольной арифметической прогрессии $S_n = a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{n-1}+a_n$. Запишем сумму двумя способами: сначала как обычно, начиная с $a_1$ и каждый раз прибавляя $d$; затем — начиная с $a_n$ и каждый раз вычитая $d$:
Сложим равенства почленно: каждая из $n$ пар слагаемых даёт одно и то же число $a_1+a_n$, поэтому $2S_n = (a_1+a_n)\cdot n$.
4
Отсюда — формула суммы $n$ первых членов арифметической прогрессии:
$$S_n = \frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$$
Формула через первый член и разность
Подставив в формулу вместо $a_n$ выражение $a_1+d(n-1)$, получим:
$$S_n = \frac{(2a_1+d(n-1))\cdot n}{2}$$
Этой формулой удобно пользоваться, когда известны первый член и разность прогрессии (а последний член $a_n$ находить отдельно не нужно) — именно по ней меняется интерактив справа при движении ползунков $a_1$, $d$ и $N$.
Пример 1. Сумма трёхзначных чисел, кратных 6
Найдите сумму всех трёхзначных чисел, кратных $6$.
1
Эти числа образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 102$ и разностью $d = 6$. Тогда $a_n = 102+6(n-1) = 6n+96$.
2
Найдём количество членов: так как $a_n \lt 1000$, ищем наибольшее натуральное решение неравенства $6n+96 \lt 1000$: $6n \lt 904$, $n \lt 150\tfrac{2}{3}$, значит $n = 150$.
3
По формуле: $S_{150} = \dfrac{(2\cdot 102+6(150-1))\cdot 150}{2} = 82\,350$.
Ответ: $82\,350$.
Пример 2. Найти член прогрессии по сумме
Сумма семидесяти пяти первых членов арифметической прогрессии равна $450$. Найдите тридцать восьмой член прогрессии.
1
Пусть $a_1$ и $d$ — первый член и разность. Тогда $S_{75} = \dfrac{2a_1+74d}{2}\cdot 75 = 75(a_1+37d) = 450$.
2
Заметим, что $a_{38} = a_1+37d$ — как раз то выражение в скобках. Значит, $a_{38} = 450 : 75 = 6$.
Ответ: $6$.
Запомни
🧠Сумма n первых членов прогрессии
через первый и последний член: $S_n = \dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$;
через первый член и разность: $S_n = \dfrac{(2a_1+d(n-1))\cdot n}{2}$;
приём вывода — сложить прогрессию саму с собой в обратном порядке: тогда каждая из $n$ пар даёт одну и ту же сумму $a_1+a_n$;
если известен первый член и разность — второй формулой можно пользоваться сразу, не находя $a_n$ отдельно.