Алгебра · 9 класс · Глава 4 · § 24

§ 24. Геометрическая прогрессия

🦠 Из жизниС подобными последовательностями можно встретиться, например, при изучении роста колонии бактерий (каждая клетка делится на две) или при ежемесячной оценке суммы денег на счёте, положенных в банк под проценты — каждый месяц сумма умножается на одно и то же число. Такие последовательности называют геометрическими прогрессиями. Понаблюдай за столбиками на интерактиве справа — двигай ползунки и смотри, как быстро (или медленно) растёт или убывает прогрессия.

Определение

📐 Геометрическая прогрессияПоследовательность с отличным от нуля первым членом, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Число, равное отношению последующего и предыдущего членов последовательности, называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой $q$ (первой буквой французского слова quotient — «частное»).

Если $(b_n)$ — геометрическая прогрессия со знаменателем $q$, то $q = \tfrac{b_2}{b_1} = \tfrac{b_3}{b_2} = \tfrac{b_4}{b_3} = \ldots$, т. е. для любого натурального $n$ выполняется равенство $\tfrac{b_{n+1}}{b_n} = q$. Отсюда получаем рекуррентную формулу $b_{n+1} = b_n\cdot q$.

Следовательно, геометрическую прогрессию можно задать рекуррентно: $b_1 = b,\ \ b_{n+1} = b_n\cdot q$. Таким образом, чтобы задать геометрическую прогрессию, надо указать её первый член и знаменатель.

Примеры прогрессий

Если $b_1 = 1$ и $q = 3$, то получим прогрессию $1,\ 3,\ 9,\ 27,\ 81,\ 243,\ldots$. Если $b_1 = 2$ и $q = 2$, то получим последовательность натуральных степеней числа $2$: $2,\ 4,\ 8,\ 16,\ 32,\ldots$ (это как раз значения по умолчанию на интерактиве).

Заметим, что геометрическая прогрессия со знаменателем, равным $1$, представляет собой последовательность, все члены которой равны. Так, последовательность $5, 5, 5, 5,\ldots$ является геометрической прогрессией, у которой $b_1=5$, $q=1$. Вместе с тем эту последовательность можно рассматривать и как арифметическую прогрессию, у которой $a_1=5$, $d=0$.

Вообще, любая последовательность, все члены которой равны между собой и отличны от нуля, является одновременно и арифметической, и геометрической прогрессией. Последовательность $0,0,0,0,\ldots$, все члены которой равны нулю, является только арифметической прогрессией.

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Из определения геометрической прогрессии следует:

1
$b_2 = b_1\cdot q$
2
$b_3 = b_2\cdot q = b_1\cdot q^2$
3
$b_4 = b_3\cdot q = b_1\cdot q^3$; аналогично $b_5 = b_1\cdot q^4$.
4
Эти примеры помогают подметить закономерность: чтобы найти некоторый член геометрической прогрессии, можно первый член умножить на степень с основанием $q$ и показателем, на $1$ меньшим, чем номер искомого члена. Вообще — это и есть формула, по которой строится интерактив справа:
$$b_n = b_1\cdot q^{n-1}$$

Это равенство называют формулой n-го члена геометрической прогрессии.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Установим важное свойство членов геометрической прогрессии $(b_n)$. Имеем: $\tfrac{b_3}{b_2} = \tfrac{b_2}{b_1}$, отсюда $b_2^2 = b_1\cdot b_3$. Аналогично $b_3^2 = b_2\cdot b_4$.

Вообще, для любого натурального $n$, большего $1$, можно записать $\tfrac{b_{n+1}}{b_n} = \tfrac{b_n}{b_{n-1}}$. Отсюда — попробуй на вкладке справа:

$$b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}$$
✅ Квадрат любого члена геометрической прогрессии, кроме первого (и последнего, если прогрессия конечна), равен произведению двух соседних с ним членов.

Если все члены геометрической прогрессии $(b_n)$ положительны, то равенство $b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ можно переписать так: $b_n = \sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$. Следовательно, каждый член такой последовательности, кроме первого (и последнего, если последовательность конечна), является средним геометрическим двух соседних с ним членов.

Сравнение роста арифметической и геометрической прогрессий

Рассмотрим две последовательности с равными первыми членами, построенные с помощью одного и того же числа $2$: арифметическую ($a_1=1$, $d=2$): $1,3,5,7,9,11,\ldots$; и геометрическую ($b_1=1$, $q=2$): $1,2,4,8,16,32,\ldots$.

Сравнивая соответствующие члены, видим, что геометрическая прогрессия «растёт» гораздо быстрее, чем арифметическая. Например, $a_{20} = 1+2\cdot 19 = 39$, а $b_{20} = 1\cdot 2^{19} = 524\,288$.

Бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две. Теперь понятно, почему так быстро возрастает численность колонии бактерий в благоприятной среде. Возможно, с этим примером связано то, что в повседневной жизни, когда хотят подчеркнуть быстрый рост какой-либо величины, говорят «растёт в геометрической прогрессии».

Пример 1. Найти первый член по известному

В геометрической прогрессии $(b_n)$ со знаменателем $q=\tfrac13$ найдите $b_1$, если $b_6 = \tfrac{5}{81}$.

1
Так как $b_6 = b_1\cdot q^5$, то $b_1 = b_6 : q^5$.
2
$b_1 = \dfrac{5}{81} : \left(\dfrac13\right)^5 = \dfrac{5}{81}\cdot 3^5 = \dfrac{5}{3^4}\cdot 3^5 = 15$.

Ответ: $15$.

Пример 2. Найти член прогрессии по характеристическому свойству

Найдите четвёртый член и знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_3 = 36$, $b_5 = 49$.

1
По свойству геометрической прогрессии $b_4^2 = b_3\cdot b_5$, отсюда $b_4 = \pm\sqrt{b_3\cdot b_5} = \pm\sqrt{36\cdot 49} = \pm 6\cdot 7 = \pm 42$.
2
Если $b_4=42$, то $q = b_4:b_3 = \tfrac{42}{36} = \tfrac76$; если $b_4=-42$, то $q=-\tfrac76$.

Ответ: $b_4=42,\ q=\tfrac76$ или $b_4=-42,\ q=-\tfrac76$.

⚠️ Частая ошибкаИзвлекая корень из $b_n^2$, легко забыть про знак $\pm$ и оставить только положительный корень. В примере 2 выше это привело бы к потере второго законного ответа ($b_4=-42$, $q=-\tfrac76$) — прогрессии со знаком минус существуют так же законно, как и с положительным знаменателем: попробуй на интерактиве отрицательные значения $q$ на вкладке характеристического свойства и увидишь, что равенство $b_n^2=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ выполняется независимо от знака.

Запомни

🧠 Геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q\neq 0$
  • рекуррентно: $b_1=b,\ \ b_{n+1}=b_n\cdot q$;
  • формула n-го члена: $b_n = b_1\cdot q^{n-1}$;
  • характеристическое свойство: $b_n^2 = b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ (не забывай про $\pm$ при извлечении корня);
  • при $|q|>1$ прогрессия растёт значительно быстрее любой арифметической — отсюда выражение «растёт в геометрической прогрессии»;
  • при $q<0$ знаки членов чередуются.
Глава 4 · § 23 Сумма n первых членов арифметической прогрессии Все темы Глава 4 · § 25 Сумма n первых членов геометрической прогрессии
Подвигай ползунки $b_1$, $q$, $N$ — синие столбики выше оси, красные (отрицательные) — ниже
2
2
6