9 класс · Числовые последовательности

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

💰 Из жизниЕсли каждый месяц откладывать в копилку сумму, вдвое большую, чем в прошлом месяце, то интересно не только «сколько будет в этом месяце», но и «сколько всего накопилось за полгода». Это как раз вопрос про сумму n первых членов геометрической прогрессии. На интерактиве синие столбики — это отдельные члены $b_n$, а зелёные внизу — накопленная сумма $S_n$ после каждого шага: смотри, как быстро растёт накопление, если знаменатель больше единицы.

Легенда об изобретателе шахмат

Рассмотрим геометрическую прогрессию $1,\ 2,\ 2^2,\ \ldots,\ 2^{62},\ 2^{63}$ и найдём сумму её членов $S_{64} = 1 + 2 + 2^2 + \ldots + 2^{62} + 2^{63}$.

1
Умножим обе части равенства на знаменатель прогрессии — число $2$: $2S_{64} = 2 + 2^2 + \ldots + 2^{63} + 2^{64}$.
2
Найдём разность $2S_{64} - S_{64}$: вычитая почленно, все средние слагаемые сокращаются, и получаем $2S_{64} - S_{64} = -1 + 2^{64}$.
3
Отсюда $S_{64} = 2^{64} - 1$.

С этой последовательностью связана старинная легенда. Индийский мудрец, придумавший шахматную игру, попросил у раджи за своё изобретение на первый взгляд скромное вознаграждение: за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зёрнышко, за вторую — 2, за третью — 4 и т. д.: за каждую следующую клетку вдвое больше зёрен, чем за предыдущую. Общее количество зёрен, которое попросил изобретатель, равно $S_{64} = 2^{64} - 1$.

Богатый раджа был потрясён, когда узнал, что он не в состоянии удовлетворить «скромное» желание мудреца. Дело в том, что значение выражения $2^{64} - 1$ равно $18\,446\,744\,073\,709\,551\,615$. Для того чтобы осознать, насколько велико это число, представим, что зерно хранят в амбаре площадью 12 га. Тогда его высота была бы больше расстояния от Земли до Солнца.

Вывод формулы суммы

Воспользуемся тем же приёмом для нахождения суммы произвольной конечной геометрической прогрессии $b_1, b_2, \ldots, b_n$. Перепишем сумму $S_n = b_1 + b_2 + \ldots + b_n$ так:

$$S_n = b_1 + b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + \ldots + b_1q^{n-2} + b_1q^{n-1}$$
1
Умножим обе части этого равенства на $q$: $S_n q = b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 + b_1q^4 + \ldots + b_1q^{n-1} + b_1q^n$.
2
Найдём разность $S_nq - S_n$: почти все слагаемые взаимно сокращаются, и получаем $S_nq - S_n = -b_1 + b_1q^n$.
3
Следовательно, $S_n(q-1) = b_1(q^n - 1)$. При $q \neq 1$ получаем — это и есть формула, по которой считается интерактив:
$$S_n = \dfrac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$$

Это равенство называют формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии со знаменателем, не равным 1.

Особый случай: $q = 1$

Если $q = 1$, то все члены прогрессии равны первому члену. Тогда:

$$S_n = n\cdot b_1$$

Формулой $S_n = \tfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ в этом случае пользоваться нельзя — знаменатель дроби $q-1$ обращается в ноль. Переключи ползунок $q$ на интерактиве в положение «1» и посмотри, как формула в подписи меняется на простое умножение.

Пример. Найти первый член и знаменатель по формуле суммы

При любом натуральном $n$ сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле $S_n = 10(2^n - 1)$. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.

1
Пусть $b_1$ — первый член данной прогрессии, $q$ — её знаменатель. Тогда $b_1 = S_1 = 10(2-1) = 10$.
2
$b_1 + b_2 = S_2 = 10(2^2-1) = 30$. Отсюда $b_2 = 30 - b_1 = 20$.
3
$q = \dfrac{b_2}{b_1} = \dfrac{20}{10} = 2$.

Ответ: $b_1 = 10,\ q = 2$.

⚠️ Частая ошибкаУченики часто подставляют $q=1$ в общую формулу $S_n=\tfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$ и получают деление на ноль — формула для этого случая просто не работает, потому что при $q=1$ обе части равенства $S_n(q-1)=b_1(q^n-1)$ превращаются в $0=0$ и никакой информации о сумме не дают. Если знаменатель прогрессии равен $1$, нужно сразу пользоваться отдельной формулой $S_n = n\cdot b_1$ (сумма $n$ одинаковых слагаемых).

Запомни

🧠 Сумма n первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$
  • если $q \neq 1$: $S_n = \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1}$;
  • если $q = 1$: $S_n = n\cdot b_1$ (все члены одинаковы);
  • вывод формулы — приём «умножить сумму на $q$ и вычесть исходную сумму», в результате почти все слагаемые сокращаются;
  • при $|q|>1$ сумма растёт очень быстро — легенда о шахматной доске даёт число $2^{64}-1 \approx 1{,}8\cdot 10^{19}$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике