9 класс · Числовые последовательности

Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1

🍰 Из жизниПредставь, что тебе оставили половину торта. Ты съедаешь половину этой половины, потом половину остатка, и так каждый раз — половину того, что осталось. Куска, который останется несъеденным, будет всё меньше и меньше, но формально он никогда не исчезнет полностью. Зато сумма всех съеденных кусочков — смотри на квадрате справа — будет подбираться к целому торту как угодно близко. Это и есть идея суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Иллюстрация: закрашивание квадрата

Возьмём квадрат со стороной $1$ и разделим его на две равные части. Одну из частей закрасим, а незакрашенную снова разделим на две равные части. Опять закрасим одну из них, а другую разделим пополам — и так далее.

1
После 1-го шага площадь закрашенной фигуры $S_1 = \tfrac12$.
2
После 2-го шага: $S_2 = \tfrac12 + \tfrac14$.
3
После $n$-го шага: $S_n = \tfrac12 + \tfrac14 + \ldots + \tfrac1{2^n} = 1 - \tfrac1{2^n}$ (по формуле суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии).

Закрасить квадрат целиком по этому алгоритму нельзя — незакрашенной всегда остаётся часть площадью $\tfrac1{2^n}$. Но чем больше шагов, тем меньше эта часть отличается от нуля: площадь закрашенной части стремится к площади квадрата, то есть к $1$. Поэтому число $1$ называют суммой бесконечной геометрической прогрессии $\tfrac12,\ \tfrac14,\ \tfrac18,\ \ldots$ и записывают:

$$\frac12 + \frac14 + \frac18 + \ldots + \frac1{2^n} + \ldots = 1$$
📐 Общая формулаПусть дана бесконечная геометрическая прогрессия $b_1, b_2, b_3, \ldots$, у которой $|q| < 1$. Сумма её $n$ первых членов $S_n = \dfrac{b_1(q^n-1)}{q-1} = \dfrac{b_1}{1-q} - \dfrac{b_1 q^n}{1-q}$. Так как $|q|<1$, при неограниченном увеличении $n$ степень $q^n$ стремится к нулю, а значит и слагаемое $\dfrac{b_1 q^n}{1-q}$ стремится к нулю. Поэтому $S_n$ стремится к числу $\dfrac{b_1}{1-q}$ — его и называют суммой бесконечной геометрической прогрессии $(b_n)$, у которой $|q|<1$:
$$S = \frac{b_1}{1-q}, \quad \text{при } |q|<1$$

На интерактиве (вкладка «График сумм») зелёные столбики — это частичные суммы $S_n$, а пунктирная линия — как раз эта горизонтальная асимптота $S$, к которой они подбираются.

Если же $|q| \geq 1$, ни о какой сумме бесконечной прогрессии речи не идёт: например, у прогрессии $1, 2, 2^2, 2^3, \ldots$ (где $q=2$) сумма первых $n$ членов при увеличении $n$ растёт неограниченно и ни к какому числу не стремится.

Периодическая дробь как сумма бесконечной прогрессии

Любое рациональное число можно представить конечной десятичной дробью или бесконечной периодической: например, $\tfrac{5}{11} = 0{,}454545\ldots = 0{,}(45)$. Оказывается, обратный переход — от периодической дроби к обыкновенной — тоже делается через сумму бесконечной геометрической прогрессии.

Представим $0{,}(45) = 0{,}45 + 0{,}0045 + 0{,}000045 + \ldots$ Слагаемые образуют геометрическую прогрессию с первым членом $b_1 = 0{,}45$ и знаменателем $q = 0{,}01$. Так как $|q|<1$, находим её сумму:

$$S = \frac{0{,}45}{1-0{,}01} = \frac{0{,}45}{0{,}99} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11}$$

Значит, $0{,}(45) = \tfrac{5}{11}$ — то же самое число, что и в начале.

Пример. Дробь $0{,}2(54)$ в виде обыкновенной

Представьте бесконечную десятичную дробь $0{,}2(54)$ в виде обыкновенной дроби.

1
Отделим непериодическую часть: $0{,}2(54) = 0{,}2545454\ldots = 0{,}2 + 0{,}0545454\ldots = 0{,}2 + 0{,}054 + 0{,}00054 + 0{,}0000054 + \ldots$
2
Дробь $0{,}0545454\ldots$ — сумма бесконечной прогрессии с $b_1 = 0{,}054$ и $q = 0{,}01$: $\ 0{,}0545454\ldots = \dfrac{0{,}054}{1-0{,}01} = \dfrac{0{,}054}{0{,}99} = \dfrac{54}{990} = \dfrac{3}{55}$.
3
Отсюда $0{,}2(54) = 0{,}2 + \dfrac{3}{55} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{55} = \dfrac{11}{55} + \dfrac{3}{55} = \dfrac{14}{55}$.

Ответ: $\dfrac{14}{55}$.

⚠️ Частая ошибкаФормулу $S = \tfrac{b_1}{1-q}$ пытаются применить к любой геометрической прогрессии, забывая проверить условие $|q|<1$. Если $|q| \geq 1$ (например, $q=2$ или $q=-1$), у бесконечной прогрессии суммы вообще не существует — члены не убывают, и накопленная сумма $S_n$ не приближается ни к какому числу. Неслучайно на интерактиве справа (вкладка «График сумм») ползунок $q$ вообще не даёт выйти за границы $(-1;1)$ — за их пределами асимптоты просто не существует.

Запомни

🧠 Сумма бесконечной геометрической прогрессии
  • сумма существует только при $|q| < 1$: $\ S = \dfrac{b_1}{1-q}$;
  • идея — частичные суммы $S_n$ при росте $n$ стремятся к числу $S$, но никогда его не достигают;
  • периодическую десятичную дробь можно перевести в обыкновенную через сумму такой прогрессии;
  • при $|q| \geq 1$ бесконечная сумма не имеет смысла — говорить о ней нельзя.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике