Чтобы измерить отрезок, сначала выбирают единичный отрезок (единицу
длины) — например, 1 дм. Дальше смотрят, сколько раз единичный отрезок укладывается
в измеряемом отрезке $AB$.
Определение. Единичный отрезок (единица длины) — это отрезок, с которым
сравнивают все остальные отрезки при измерении. Число, показывающее, сколько раз единичный
отрезок и его доли укладываются в отрезке $AB$, называют длиной отрезка $AB$.
Пусть за единицу длины взят 1 дм. Тогда возможны такие случаи:
1
Укладывается ровно. Если в отрезке $AB$ единичный отрезок
укладывается точно 2 раза, пишут $AB = 2$ дм —
это точная длина.
2
Укладывается с остатком. Если 1 дм укладывается 2 раза, но остаётся
ещё кусочек короче 1 дм, точную длину так не записать. Говорят, что
длина $AB$ приближённо равна 2 дм с точностью
до 1 дм с недостатком, и пишут $AB \approx 2$ дм.
3
Уточняем остаток. Остаток можно измерить более мелкой единицей —
1 см (это $0{,}1$ дм). Если в остатке укладывается точно
1 см, пишут $AB = 2{,}1$ дм. Если же
и здесь остаётся кусочек короче 1 см, то
$AB \approx 2{,}1$ дм с точностью до
$0{,}1$ дм с недостатком.
4
Дробим ещё мельче. Второй остаток можно измерить в 1 мм (это
$0{,}01$ дм). Если укладывается точно 4 мм,
пишут $AB = 2{,}14$ дм; если снова остаётся кусочек, то
$AB \approx 2{,}14$ дм с точностью до
$0{,}01$ дм с недостатком.
💡 Из жизни: так работает обычная линейка. Сначала считаем целые сантиметры,
потом смотрим, попадает ли конец отрезка ровно на миллиметровую чёрточку или между двумя
соседними — тогда длину записывают приближённо, «на глаз» до ближайшего деления.
Точная длина — бесконечная десятичная дробь
Так же, как в примерах выше, можно продолжать измерение сколько угодно раз, каждый раз
деля остаток на 10 более мелких частей: дециметры, сантиметры, миллиметры, десятые доли
миллиметра и так далее. Если на каком-то шаге остаток не равен нулю, точную длину конечной
десятичной дробью выразить нельзя — но её всегда можно выразить бесконечной
десятичной дробью:
$\alpha_0$ — приближённая длина $AB$ с точностью до $1$ с недостатком (сколько целых
единичных отрезков уложилось).
2
$\alpha_0,\alpha_1$ — приближённая длина $AB$ с точностью до $0{,}1$ с недостатком.
3
$\alpha_0,\alpha_1\alpha_2$ — приближённая длина $AB$ с точностью до $0{,}01$ с
недостатком, и так далее — с каждым следующим шагом приближение становится точнее.
Например, если $AB = 3,(07) = 3{,}070707\ldots$, то $3$ — приближение с точностью до $1$,
$3{,}0$ — с точностью до $0{,}1$, $3{,}07$ — с точностью до $0{,}01$ и т. д. Такую
бесконечную периодическую дробь можно записать и обыкновенной дробью: $3,(07) = 3\tfrac{7}{99}$ —
то есть в отрезке укладывается 3 целых единичных отрезка и ещё $\tfrac{7}{99}$ единицы.
Обратное утверждение
Верно и обратное: пусть задан единичный отрезок. Тогда для любого отрезка $AB$ найдётся
положительное число $a$ — его длина. И наоборот: для любого положительного числа $a$
можно указать отрезок, длина которого равна этому числу.
На практике начертить отрезок с бесконечной точностью невозможно — линейка и другие
измерительные приборы устроены по десятичной системе счисления: единица длины делится
на 10, 100, 1000, ... равных частей. Поэтому строят отрезок по приближённой
длине, заданной конечной десятичной дробью, например $AB \approx 3{,}07$.
⚠️ Частая ошибка: путать точное равенство и приближённое. Если в отрезке
уложилось 2 дм и ещё какой-то кусочек — писать $AB = 2$ вместо $AB \approx 2$ нельзя: знак
«$=$» означает, что остатка нет вообще ни на каком шаге измерения, а «$\approx$» — что
измерение просто оборвали на определённой точности, остаток ещё есть.
Запомни
🧠 Длину отрезка $AB$ находят, сравнивая его с единичным отрезком: сколько раз единица и
её доли (десятые, сотые, тысячные...) укладываются в $AB$. Если на каком-то шаге остаток
равен нулю — длина точная ($=$); если остаток остаётся — длина только приближённая
($\approx$), причём с недостатком, если взятое число меньше настоящей длины. Любой отрезок
имеет длину — некоторое положительное число, и любому положительному числу соответствует
отрезок такой длины.