Обычная линейка или шкала термометра — это, по сути, прямая, на которой каждой точке
отвечает какое-то число: у линейки — расстояние от начала в сантиметрах, у термометра —
температура. Такую же идею используют в математике, чтобы связать точки прямой с
действительными числами.
Возьмём прямую. Выберем на ней точку $O$, которую
назовём начальной точкой, и направление вдоль прямой, которое назовём
положительным — на чертеже его обычно показывают
вправо. Ещё выберем отрезок, длину которого примем за единицу — это
единичный отрезок.
Определение. Прямую, на которой выбраны начальная точка, положительное
направление и единичный отрезок, называют координатной осью.
Координатную ось часто рисуют горизонтально, положительным направлением вправо от точки
$O$. Но вообще она может быть расположена как угодно — вертикально или наклонно, а
положительное направление выбирают так, как удобно в конкретной задаче.
Точка $O$ делит координатную ось на два луча:
положительный луч — тот, что идёт от $O$ в
положительном направлении, и отрицательный луч —
противоположный ему. Их называют соответственно положительной и
отрицательной координатными полуосями.
Как точке сопоставляют число
Теперь каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное число $x$ —
его называют координатой этой точки. Правило такое:
1
Начальной точке $O$ ставим в соответствие
число нуль: $x = 0$.
2
Если точка $A$ лежит на
положительном луче, ей ставят в соответствие
число $x$, равное длине отрезка $OA$: $x = OA$.
3
Если точка $B$ лежит на
отрицательном луче, ей ставят в соответствие
отрицательное число, равное длине отрезка $OB$, взятой со знаком «$-$»: $x = -OB$.
Так определённую координатную ось называют осью $Ox$ (или коротко —
осью $Ox$). Букву $x$ в этом названии можно заменить любой другой — например, $y$, $z$,
$t$, — тогда говорят об оси $Oy$, оси $Oz$ и т. д.
💡 Из жизни: так устроен термометр — точка $0$ °C играет роль начала
отсчёта, деления выше неё соответствуют положительным числам (тепло), а деления ниже —
отрицательным (мороз). Чем дальше деление от нуля, тем больше по модулю число, которое
ему соответствует.
Свойства оси $Ox$ и модуль числа
Из определения координаты сразу следуют три важных факта:
1
Каждой точке оси $Ox$ соответствует ровно одно действительное число — координата
этой точки.
2
Две различные точки $A$ и $B$ оси $Ox$ всегда имеют разные координаты $x_1$ и
$x_2$.
3
Каждое действительное число является координатой какой-нибудь точки оси $Ox$.
Иначе говоря, между точками оси $Ox$ и действительными числами установлено взаимно
однозначное соответствие: у каждой точки — своё число, и у каждого числа — своя точка.
Для краткости точку с координатой $x$ так и называют — точкой $x$.
Например, точку с координатой $2$ называют точкой $2$, а точку с координатой $(-2)$ —
точкой $(-2)$.
Модуль числа $x$ (обозначают $|x|$) — это расстояние от точки $x$ до
начала координат $O$. Например, для точки $2$: $|2| = 2$; для точки $(-2)$: $|-2| = 2$ —
расстояние в обоих случаях одинаковое.
⚠️ Частая ошибка: путать координату точки с расстоянием до неё. Координата
точки $B$ на отрицательном луче — отрицательное число: $x = -OB$. Но само расстояние $OB$
(длина отрезка) отрицательным быть не может — это всегда положительное число. Знак «$-$»
относится к координате, а не к длине.
Запомни
🧠 Координатная ось — это прямая с выбранными начальной точкой $O$, положительным
направлением и единичным отрезком. Координата $x$ точки — это расстояние от $O$ до неё,
взятое со знаком «$+$» на положительном луче и со знаком «$-$» на отрицательном; точке
$O$ отвечает $x = 0$. Модуль $|x|$ — это то же расстояние, но всегда без знака.