В 5–6 классах уже изучались признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10 — но их справедливость
только проверялась на конкретных примерах. Сейчас, зная, как любое многозначное число
раскладывается на разрядные слагаемые, эти признаки можно доказать для
любого числа, а не только для проверенных примеров.
Сначала докажем вспомогательное утверждение, которое понадобится в доказательствах всех
признаков делимости.
Теорема 1. Если каждое из натуральных чисел $a$ и $b$ делится на
натуральное число $c$, то их сумма и разность тоже делятся на $c$.
1
Раз $a$ и $b$ делятся на $c$, найдутся натуральные $m$ и $n$, такие что $a = cm$ и
$b = cn$.
2
Тогда $a + b = cm + cn = c(m+n)$ и $a - b = cm - cn = c(m-n)$.
3
Значит, и сумма $a+b$, и разность $a-b$ делятся на $c$ — ведь каждая из них равна
$c$, умноженному на целое число.
💡 Из жизни: если два долга кратны 100 рублям (скажем, 300 ₽ и 500 ₽), то
и их сумма (800 ₽), и разница (200 ₽) тоже кратны 100 рублям — лишние копейки взяться
неоткуда.
Доказываем признак делимости на 9
Любое многозначное число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых:
$a = 10^n a_n + \ldots + 10 a_1 + a_0$, где $a_0, a_1, \ldots, a_n$ — его цифры (цифра
старшего разряда $a_n \neq 0$).
Теорема 2 (признак делимости на 9).
Если сумма цифр $a_0 + a_1 + \ldots + a_n$ числа $a_n \ldots a_1 a_0$ делится на 9, то и
само число делится на 9. Верно и обратное: если число делится на 9, то и сумма его цифр
делится на 9.
Идея доказательства — в том, что $10 = 9+1$, $10^2 = 99+1$, $10^3 = 999+1$ и так далее:
каждая степень десятки отличается от числа, состоящего из девяток, ровно на единицу.
Поэтому число $a$ можно разбить на две части:
1
Часть из чисел вида $\underbrace{99\ldots9}_{k}\!\cdot a_k$ — каждое такое слагаемое
делится на 9 (ведь $\underbrace{99\ldots9}_{k}$ делится на 9), значит по теореме 1 и вся
эта часть делится на 9.
2
Оставшаяся часть — это в точности сумма цифр $a_0 + a_1 + \ldots + a_n$.
3
Если сумма цифр делится на 9, то по теореме 1 (сумма двух чисел, делящихся на 9,
делится на 9) и всё число $a$ делится на 9. Обратное утверждение доказывается так же,
только через разность.
Проверь признак на числах справа — введи любое число или выбери пример.
НОД и НОК через разложение на множители
Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел можно найти, разложив оба числа на простые
множители и перемножив все общие множители, взяв каждый в
наименьшей из встретившихся степеней.
Наименьшее общее кратное (НОК) находят похоже — перемножают все простые
множители обоих чисел, взяв каждый в наибольшей из встретившихся
степеней.
Пример 2. Для тех же чисел: $\text{НОК}(90,84) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5
\cdot 7 = 1260$.
Между НОД и НОК есть удобная связь: $\text{НОК}(a,b) \cdot \text{НОД}(a,b) = a \cdot b$.
Если НОД(a,b) = 1 (числа взаимно простые), то $\text{НОК}(a,b) = a
\cdot b$ — например, $\text{НОК}(83,90) = 83 \cdot 90 = 7470$, ведь $\text{НОД}(83,90)=1$.
Алгоритм Евклида
Раскладывать на множители большие числа — трудная задача. Есть способ найти НОД без
разложения — алгоритм Евклида:
делим большее число на меньшее с остатком, затем меньшее — на первый остаток, потом
первый остаток — на второй, и так далее, пока остаток не станет равен нулю.
НОД$(a,b)$ равен последнему отличному от нуля остатку в этой цепочке
делений. Если в конце остаток стал равен $1$, числа $a$ и $b$ — взаимно простые.
Алгоритм Евклида красиво видно на
прямоугольнике: если резать от него квадраты со стороной, равной меньшей стороне, шаг за
шагом получаются в точности те же остатки, что и в делении столбиком. Смотри
пример а),
пример б) и
пример в) справа.
Деление с остатком целых чисел
Разделить с остатком целое число $a$ на целое число $b \neq 0$ — значит найти такие целые
числа $q$ (неполное частное) и $r$ (остаток), что
$$a = b \cdot q + r, \qquad 0 \le r < |b|.$$
Такая пара чисел $q$ и $r$ всегда существует, и притом только одна.
Обрати внимание: остаток $r$ по определению всегда неотрицателен — даже
если делимое $a$ отрицательное.
Пример 7. Числа, дающие остаток $3$ при делении на $7$, — это все числа
вида $a = 7m + 3$, где $m$ — любое целое число.
⚠️ Частая ошибка: для отрицательного $a$ ученики часто берут остаток
такого же знака, как у $a$. Например, для $-7 : 3$ хочется написать
"$-7 = 3 \cdot (-2) - 1$", т.е. остаток $-1$. Но по определению остаток должен быть
неотрицательным: верная запись — $-7 = 3 \cdot (-3) + 2$, где $q = -3$, $r = 2$.
Задача. Найти все числа, которые при делении на 3 дают остаток 2, а при
делении на 2 — остаток 1. Числа с остатком 2 от деления на 3: $a = 3m+2$. Среди них
остаток 1 от деления на 2 дают те, где $m$ нечётно, т.е. $m = 2n+1$. Тогда
$a = 3(2n+1)+2 = 6n+5$. Ответ: $a = 6n+5$, где $n$ — любое целое число.
Запомни
🧠 Если $a$ и $b$ делятся на $c$, то и $a+b$, и $a-b$ делятся на $c$ — на этом
основаны все доказательства признаков делимости. Число делится на 9, если сумма его
цифр делится на 9. НОД и НОК находят либо через разложение на простые множители (НОД —
общие множители в наименьшей степени, НОК — все множители в наибольшей), либо через
алгоритм Евклида (НОД = последний ненулевой остаток при последовательном делении с
остатком). При делении с остатком $a = bq+r$ остаток $r$ всегда $0 \le r < |b|$ —
даже для отрицательного $a$.