10 класс · Корни, степени, логарифмы

Рациональные уравнения

⚠️ Из жизниДробь не может делиться на ноль — знаменатель — это как пол, на который нельзя вставать: сколько бы этажей ни было в числителе, если снизу пусто, всё падает. Поэтому у $\dfrac{A(x)}{B(x)}=0$ подходят лишь корни числителя, которые не «наступают» на нули знаменателя.

Рациональное уравнение

🔑 ОпределениеУравнение, обе части которого — рациональные выражения относительно $x$, называют рациональным уравнением. Решить уравнение — значит найти все его корни или показать, что их нет.

При решении применяют перенос членов, умножение/деление обеих частей на ненулевое число, действия с дробями — получая равносильное уравнение (с теми же корнями).

Распадающееся уравнение

🧩 ОпределениеУравнение вида $A(x)\cdot B(x)=0$ называют распадающимся. Множество его корней — объединение множеств корней $A(x)=0$ и $B(x)=0$.

Пример: $(x^2-5x+6)(x^2+x-2)=0$ распадается на два квадратных уравнения с корнями $2,3$ и $-2,1$. Ответ: $-2;\ 1;\ 2;\ 3$.

Уравнение вида A(x)/B(x) = 0

Правило: находят корни $A(x)=0$, из них оставляют только те, что не обращают в нуль $B(x)$.

Двигай точку справа по прямой $\dfrac{x^2+4x-21}{x^2-x-6}=0$: корни числителя — $3$ и $-7$; но $x=3$ обращает в нуль знаменатель и отбрасывается, а $x=-7$ — нет.

Ответ: $-7$.

⚠️ Частая ошибкаЗабыть проверить корни числителя на совпадение с нулями знаменателя — тогда в ответ попадает посторонний корень, на котором исходная дробь вообще не определена.

Общий случай и замена переменной

Для $\dfrac{A(x)}{B(x)}=\dfrac{C(x)}{D(x)}$ переносят всё в одну сторону и приводят к $\dfrac{A(x)D(x)-C(x)B(x)}{B(x)D(x)}=0$: решают числитель $=0$, отбрасывая корни, обращающие знаменатель в нуль.

Часто упрощает решение замена неизвестного. Например, в $x^8+4x^6-10x^4+4x^2+1=0$ (уравнение возвратное: коэффициенты симметричны) делят на $x^4$ и вводят $t=x^2+\tfrac{1}{x^2}$, сводя всё к квадратному уравнению относительно $t$.

Запомни

🧠 Рациональные уравнения
  • $A(x)\cdot B(x)=0$ распадается на $A(x)=0$ и $B(x)=0$;
  • $\dfrac{A(x)}{B(x)}=0$ — решаем числитель, отбрасываем нули знаменателя;
  • перед ответом всегда проверяй ОДЗ — знаменатель не равен нулю;
  • возвратные уравнения решаются заменой $t=x+\tfrac1x$ или $t=x^2+\tfrac1{x^2}$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике