10 класс · Корни, степени, логарифмы
Системы рациональных уравнений
Из жизниОдно уравнение с двумя неизвестными задаёт целую линию решений — как одна подсказка в квесте оставляет много вариантов. Второе уравнение — вторая подсказка, сужающая варианты до конкретных точек пересечения.
Что значит решить систему
ОпределениеРешить систему рациональных уравнений с $x$ и $y$ — значит найти все пары $(x;y)$, удовлетворяющие каждому уравнению системы. Две системы называют равносильными, если множества их решений совпадают (в частности, равносильны любые две системы без решений).
Метод подстановки — пример
Основной способ решения — подстановка. Возьмём систему:
$$\begin{cases}3x-y=1\\5x^2-4xy+3y^2=9\end{cases}$$
1
Из первого уравнения выражаем $y=3x-1$.
2
Подставляем во второе: получаем квадратное уравнение относительно $x$.
3
Корни: $x=1$ и $x=-\tfrac{3}{10}$ — каждому соответствует своё $y$.
4
Ответ: $(1;2)$ и $\left(-\tfrac{3}{10};-\tfrac{19}{10}\right)$ — обе точки лежат на прямой $y=3x-1$ (справа отмечены).
Другие приёмы
Сложение уравнений тоже упрощает решение: например, в системе $\{x^2-3xy=-2;\ y^2+5xy=11\}$ сложение даёт $(x+y)^2=9$.
Введение новых неизвестных, например $u=xy$, $v=x-y$, сводит нелинейную систему к линейной относительно $u,v$.
Однородное уравнение $ax^2+bxy+cy^2=0$ ($a,b,c\ne0$) решают заменой $t=\tfrac{x}{y}$, сводя его к квадратному относительно $t$.
Симметрические многочлены ($\alpha=x+y$, $\beta=xy$) применимы и здесь: например, $\{x+y=5;\ x^4+y^4=97\}$ через $x^4+y^4=\alpha^4-4\alpha^2\beta+2\beta^2$ сводится к квадратному уравнению относительно $\beta$.
Запомни
Системы рациональных уравнений
- решение системы — пара $(x;y)$, удовлетворяющая всем уравнениям сразу;
- метод подстановки — базовый приём, выразить одну переменную и подставить;
- сложение уравнений, замена $u=xy,\ v=x-y$, однородные уравнения ($t=x/y$) — частные приёмы;
- симметрические многочлены через $\alpha=x+y,\ \beta=xy$ упрощают системы с симметрией.