10 класс · Корни, степени, логарифмы

Метод интервалов решения неравенств

🚦 Из жизниДвучлен $(x-x_0)$ меняет знак только в одной точке — как светофор: справа от $x_0$ он «зелёный» (положителен), слева — «красный» (отрицателен). Зная, где стоят все такие «светофоры», легко расставить знаки всего произведения на любом участке числовой прямой.

Идея метода

Рассматриваем неравенства вида $(x-x_1)(x-x_2)\cdot\ldots\cdot(x-x_n)>0$ и $<0$, где $x_1\lt x_2<\ldots\lt x_n$.

🔑 Метод интерваловОтмечаем на оси $Ox$ корни $x_1,\ldots,x_n$ — они делят ось на $n+1$ интервал. Над самым правым интервалом ставим знак «$+$» (там все множители положительны), а при переходе через каждый следующий корень справа налево знак меняется на противоположный (для простых корней).

Кратные корни — общий метод

Если множитель $(x-x_0)$ встречается $k$ раз (корень кратности $k$), двигаясь по оси справа налево через $x_0$: при нечётном $k$ знак меняется, при чётном $k$ — сохраняется (чётная степень двучлена всюду неотрицательна).

Если один из множителей — квадратный трёхчлен с отрицательным дискриминантом (значит, всегда положителен), его можно просто отбросить, не влияя на знак произведения.

Пример: кратные корни

Разбери неравенство $(x-1)^3(x-2)^2(x-3)^4(x-4)<0$ по шагам справа: справа от $4$ знак «$+$»; в $x=4$ (степень $1$, нечётная) — знак меняется на «$-$»; в $x=3$ и $x=2$ (степени $4$ и $2$, чётные) — знак сохраняется; в $x=1$ (степень $3$, нечётная) — знак снова меняется.

Ответ: $(1;2)\cup(2;3)\cup(3;4)$ — там, где знак «$-$».

Запомни

🧠 Метод интервалов
  • справа от самого большого корня всегда знак «$+$»;
  • простой корень (кратность $1$) — знак меняется при переходе через него;
  • корень чётной кратности — знак не меняется;
  • множитель без действительных корней (отрицательный дискриминант) можно отбросить.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике