➗Из жизниДробь положительна ровно тогда, когда числитель и знаменатель «смотрят в одну сторону» — оба плюс или оба минус. Совсем как при делении долга на долг: минус на минус даёт плюс. Поэтому знак дроби можно изучать так же, как знак произведения.
Рациональное неравенство
🔑ОпределениеНеравенство, обе части которого — рациональные выражения относительно $x$, называют рациональным неравенством.
🔑Теорема$\dfrac{A(x)}{B(x)}>0$ равносильно $A(x)\cdot B(x)>0$ — дробь положительна тогда и только тогда, когда числитель и знаменатель одного знака, то есть их произведение положительно. Значит, метод интервалов применим и к дробям, если множители в числителе и знаменателе различны.
Пример: точки исключения
Разложим на множители: $\dfrac{x^2-2x-3}{x^2-3x+2}<0 \iff \dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-1)(x-2)}<0$.
На числовой прямой справа — все $4$ корня отмечены пустыми кружками (в строгое неравенство ни один из них не входит: корни знаменателя запрещены всегда, а неравенство строгое). Знаки чередуются как в обычном методе интервалов.
Ответ: $(-1;1)\cup(2;3)$.
Общий вид и повторяющиеся множители
Для $\dfrac{A_1(x)}{B_1(x)}>\dfrac{A_2(x)}{B_2(x)}$ переносят всё в одну сторону, вычитают дроби (не сокращая!) и приводят к виду $\dfrac{A(x)}{B(x)}>0$.
⚠️Частая ошибкаЕсли числитель и знаменатель после приведения содержат одинаковые множители, их нельзя просто сократить — это может «потерять» точку исключения. Правильно: перейти к $A(x)\cdot B(x)>0$ (умножив на $B(x)^2$, знак не меняется) и применить общий метод интервалов, учитывая кратность.
Запомни
🧠Рациональные неравенства
$\dfrac{A(x)}{B(x)}>0 \iff A(x)\cdot B(x)>0$ — работает и метод интервалов;
корни знаменателя всегда исключаются из ответа (не входят ни при каком знаке неравенства);
для строгого неравенства все точки — пустые кружки, ни одна не входит в ответ;
одинаковые множители в числителе и знаменателе не сокращать — учитывать их кратность.