Нестрогие неравенства
Как решать нестрогие неравенства
Множество решений $\dfrac{A(x)}{B(x)}\ge0$ — это объединение множества решений $\dfrac{A(x)}{B(x)}>0$ и множества решений $\dfrac{A(x)}{B(x)}=0$ (аналогично для $\le0$). Если $B(x)=1$ (просто числовой многочлен $A(x)$), правило применимо и к $A(x)\ge0$, $A(x)\le0$.
Примеры
$2x^2-x-1\le0$: корни $-\tfrac12$ и $1$; объединение решений строгого неравенства и уравнения даёт отрезок. Ответ: $\left[-\tfrac12;1\right]$.
$9x^2-6x+1\le0$ равносильно $9\left(x-\tfrac13\right)^2\le0$ — единственное решение $x=\tfrac13$ (строгое неравенство решений не имеет: квадрат не бывает отрицательным).
$\dfrac{(x+2)(x-4)}{(x+3)x}\le0$: корни числителя $-2,4$ включаются в ответ (закрашенные точки), а корни знаменателя $-3,0$ — исключаются всегда (пустые кружки). Ответ: $(-3;-2]\cup(0;4]$.
Наглядно: строгое vs нестрогое
Справа — граница $x=\tfrac73$ для $3x-7\ (\ )\ 0$: переключай знак и смотри, как меняется вид точки — закрашенная (входит) или пустая (не входит).
Запомни
- $\ge$ и $\le$ — объединение строгого неравенства и уравнения ($=0$);
- корни числителя при $\ge/\le$ включаются в ответ — закрашенная точка;
- корни знаменателя исключаются всегда, при любом знаке неравенства — пустой кружок;
- если после преобразования получился полный квадрат $\ge0$ или $\le0$ — проверь границу отдельно.