Алгебра 10 класс: Нестрогие неравенства

        🔓
        Из жизни«Не старше $18$ лет» ($\le18$) пускает и тех, кому ровно $18$, а «младше $18$» ($<18$) — уже нет. Разница всего в одном символе под знаком неравенства меняет, входит ли граничная точка в ответ.
      

Как решать нестрогие неравенства

Множество решений $\dfrac{A(x)}{B(x)}\ge0$ — это объединение множества решений $\dfrac{A(x)}{B(x)}>0$ и множества решений $\dfrac{A(x)}{B(x)}=0$ (аналогично для $\le0$). Если $B(x)=1$ (просто числовой многочлен $A(x)$), правило применимо и к $A(x)\ge0$, $A(x)\le0$.

🔑 Главное отличие от строгихРешаем строгое неравенство методом интервалов, отдельно находим корни уравнения (там, где выражение $=0$) — и объединяем оба множества.

Примеры

$2x^2-x-1\le0$: корни $-\tfrac12$ и $1$; объединение решений строгого неравенства и уравнения даёт отрезок. Ответ: $\left[-\tfrac12;1\right]$.

$9x^2-6x+1\le0$ равносильно $9\left(x-\tfrac13\right)^2\le0$ — единственное решение $x=\tfrac13$ (строгое неравенство решений не имеет: квадрат не бывает отрицательным).

$\dfrac{(x+2)(x-4)}{(x+3)x}\le0$: корни числителя $-2,4$ включаются в ответ (закрашенные точки), а корни знаменателя $-3,0$ — исключаются всегда (пустые кружки). Ответ: $(-3;-2]\cup(0;4]$.

Наглядно: строгое vs нестрогое

Справа — граница $x=\tfrac73$ для $3x-7\ (\ )\ 0$: переключай знак и смотри, как меняется вид точки — закрашенная (входит) или пустая (не входит).

Запомни

🧠 Нестрогие неравенства

$\ge$ и $\le$ — объединение строгого неравенства и уравнения ($=0$);
корни числителя при $\ge/\le$ включаются в ответ — закрашенная точка;
корни знаменателя исключаются всегда, при любом знаке неравенства — пустой кружок;
если после преобразования получился полный квадрат $\ge0$ или $\le0$ — проверь границу отдельно.

§2 · п.2.9 Рациональные неравенства Все темы §2 · п.2.11 Системы рациональных неравенств