Потребность считать привела человека к понятию натурального числа. Ещё до нашей эры
математики Вавилона, Египта, Китая и Греции заложили основы теории чисел —
науки о свойствах натуральных чисел, в том числе о том, как простые числа распределены
среди натуральных.
В России и в Советском Союзе крупнейшими представителями теории чисел были
Леонард Эйлер,
Пафнутий Львович Чебышёв и
Иван Матвеевич Виноградов.
Л. Эйлер (1707—1783) —
швейцарец по происхождению, но более 30 лет проживший в России и избранный академиком
Петербургской академии наук. Свои главные работы он написал именно в Петербурге и сам
говорил: «Всем обязан своему пребыванию в Петербургской академии наук». Эйлер написал
учебник «Полное введение в алгебру», по образцу которого потом писались другие учебники
алгебры.
П. Л. Чебышёв (1821—1894) —
помимо теории чисел, внёс огромный вклад в теорию вероятностей, механику и теорию функций.
Он доказал: среди натуральных чисел от $n$ до $2n$ (при $n>1$) всегда найдётся хотя бы одно
простое число.
И. М. Виноградов (1891—1983) —
директор Математического института Академии наук СССР. Он доказал для достаточно больших
чисел проблему Гольдбаха, остававшуюся нерешённой 200 лет: любое нечётное
число, большее 5, есть сумма трёх простых чисел.
А вот проблема Эйлера — каждое чётное число, большее 4, можно
представить как сумму двух простых чисел — до сих пор не доказана и не опровергнута ни для
одного числа: это одна из самых известных нерешённых задач математики.
💡 Из жизни: это как искать закономерность в расписании поездов, зная
только несколько отправлений — гипотезу легко проверить на любом конкретном примере, но
доказать её для всех чисел сразу — совсем другая по трудности задача.
Как появились десятичные дроби
Дробные числа нужны, когда измеряют длины, площади, объёмы, массы — их использовали ещё
до нашей эры. Но именно десятичные дроби, удобные благодаря простой записи
и правилам действий, похожим на правила для натуральных чисел, появились не сразу.
Судя по всему, десятичные дроби впервые появились в Китае — это связано с десятичной
системой мер, существовавшей там ещё во II в. до н. э.
В 1427 г. самаркандский математик и астроном
Джемшид ибн Масуд аль-Каши подробно описал
систему десятичных дробей и действия над ними. В Европе десятичные дроби стали известны
только через сто с лишним лет — благодаря трудам нидерландского инженера
Симона Стевина.
В русской литературе учение о десятичных дробях впервые изложил
Леонтий Филиппович Магницкий (1669—1739) в
своей «Арифметике» (1703 г.) — первом русском печатном учебнике по математике.
Открытие иррациональных чисел
Древние греки за несколько столетий до нашей эры обнаружили: наряду с отрезками, длины
которых выражаются рациональными числами, есть и такие отрезки, для которых это в принципе
невозможно. Пример открыл (или одним из первых доказал) знаменитый греческий математик
Пифагор — диагональ квадрата со стороной 1 не
выражается никаким рациональным числом.
Рассуждение древних греков можно повторить и сегодня.
1
Пусть диагональ такого квадрата равна рациональному числу $\tfrac{p}{q}$
(несократимая дробь). Площадь квадрата, построенного на диагонали, равна двум площадям
исходного квадрата, поэтому $\left(\tfrac{p}{q}\right)^2 = 2$, то есть $p^2 = 2q^2$.
2
Правая часть делится на 2, значит и $p^2$ делится на 2 — а тогда само $p$ чётно:
$p = 2p_1$. Подставив, получаем $4p_1^2 = 2q^2$, то есть $q^2 = 2p_1^2$ — тоже чётное
число, значит и $q$ чётно.
3
Но тогда и $p$, и $q$ делятся на 2 — а дробь $\tfrac{p}{q}$ мы взяли несократимой.
Противоречие! Значит, длина диагонали не выражается рациональным числом — она
иррациональна.
💡 Такими же иррациональными являются, например, числа, квадраты которых равны 2, 3, 17.
Примеры подобных чисел знал — а возможно, и впервые открыл —
Пифагор, живший в VI в. до н. э.
История числа π
Важную роль в математике играет число, равное отношению длины окружности к её диаметру.
Обозначение этого числа греческой буквой $\pi$ (от греческого слова «окружность») получило
широкое распространение в XVIII в. — после работ
Л. Эйлера.
Ещё в III в. до н. э. греческий математик и механик
Архимед доказал неравенства
$$3\tfrac{10}{71} < \pi < 3\tfrac{1}{7}.$$
Спустя почти 1700 лет аль-Каши выразил
приближение $\pi$ шестидесятеричной дробью:
$$\pi \approx 3 + \tfrac{8}{60} + \tfrac{29}{60^2} + \tfrac{44}{60^3}.$$
Но только в XVIII в. было доказано, что число $\pi$ иррационально.
Появление отрицательных чисел
Ещё во II—I вв. до н. э. китайские учёные использовали отрицательные числа, чтобы
обозначать противоположные состояния: наличие и отсутствие, имущество и долг, приход и
расход. Отрицательные числа использовали и индийские математики в VII в. н. э.
В Европе первым к понятию отрицательного числа пришёл итальянский математик
Леонардо Пизанский, известный как
Фибоначчи, в XIII в. Когда при решении уравнений у него получались
отрицательные ответы, он объяснял их как долг.
Много веков отрицательные числа считались чем-то надуманным. Широкое распространение они
получили только после введения в математику координатной оси — той самой, с которой ты
уже знаком: ведь у оси два направления, и все её точки нельзя выразить одними только
положительными числами.
Запомни
🧠 Натуральные числа — древнейшее понятие, теорию чисел развивали Эйлер, Чебышёв и
Виноградов; проблема Гольдбаха и проблема Эйлера — примеры того, как в математике задачи
могут оставаться нерешёнными веками. Десятичные дроби пришли из Китая, были описаны
аль-Каши (1427), принесены в Европу Стевином и впервые изложены по-русски Магницким
(1703). Иррациональные числа открыли древние греки, доказав, что диагональ квадрата со
стороной 1 не выражается рациональным числом. Отрицательные числа знали в Китае и Индии
задолго до Фибоначчи, но по-настоящему прижились только вместе с координатной осью.