🎭Из жизниРасписание работы двух кружков накладывается друг на друга — записаться сразу в оба можно только в те часы, когда работают оба. Так же и с системой неравенств: ответ — только те $x$, что подходят каждому неравенству одновременно.
Что значит решить систему неравенств
🔑ОпределениеРешить систему неравенств с неизвестным $x$ — найти все числа, являющиеся решением каждого неравенства одновременно. Решают каждое неравенство отдельно и берут пересечение множеств решений.
Пример: пересечение двух множеств
Пусть первое неравенство системы даёт $(-\infty;1)\cup(5;7)$, а второе — $(2;3)\cup(4;+\infty)$. Справа — три числовые прямые: два неравенства сверху и их пересечение снизу.
Ответ: $(5;7)$ — единственный участок, где закрашены оба верхних ряда.
⚠️Частая ошибкаЕсли одно из неравенств системы решений не имеет (например, $x^2-6x+10<0$ равносильно $(x-3)^2+1<0$ — решений нет), то вся система решений не имеет, и второе неравенство можно не решать вовсе.
Уравнения и неравенства с модулем через систему
Если числовое равенство $|u|+|v|=u+v$ верно, то это происходит тогда и только тогда, когда $u\ge0$ и $v\ge0$ одновременно — это сводит уравнение с модулями к системе неравенств.
Например, $|x^2-4x|+|5x-x^2|=x$ равносильно системе $\{x^2-4x\ge0;\ -x^2+5x\ge0\}$. Пересечение решений $(-\infty;0]\cup[4;+\infty)$ и $[0;5]$ даёт ответ: $\{0\}\cup[4;5]$.
Похожий приём применяют для сумм арифметических квадратных корней: если $\sqrt{A}+\sqrt{B}=C$, подкоренные выражения должны быть неотрицательны — решают систему $\{A\ge0;\ B\ge0\}$, а затем проверяют найденные значения подстановкой в исходное уравнение.
Запомни
🧠Системы рациональных неравенств
решение системы — пересечение решений всех неравенств по отдельности;
если хотя бы одно неравенство не имеет решений — вся система не имеет решений;
$|u|+|v|=u+v \iff u\ge0$ и $v\ge0$ — сводит уравнение с модулями к системе;
для суммы корней $\sqrt A+\sqrt B=C$ всегда проверяй ОДЗ ($A\ge0,B\ge0$) и подстановкой.