10 класс · Корни, степени, логарифмы

Понятие функции и её графика

🚕 Из жизниСтоимость поездки на такси зависит от расстояния: каждому числу километров счётчик ставит в соответствие одно вполне определённое число рублей. Расстояние — аргумент, стоимость — функция от этого аргумента.

Определение функции

🔑 ОпределениеПусть дано множество чисел $X$. Если по некоторому закону $f$ каждому числу $x$ из $X$ поставлено в соответствие одно вполне определённое число $y$, говорят, что на $X$ задана функция $y=f(x)$.

Величины, значения которых не меняются, называют постоянными, изменяющиеся — переменными. Независимую переменную называют аргументом, зависимую — функцией.

Множество $X$ называют областью определения функции (обозначение $D(f)$); множество всех значений $y$ — областью изменения (обозначение $E(f)$).

График функции

📈 ОпределениеГрафиком функции $y=f(x)$ называют множество всех точек координатной плоскости вида $(x;f(x))$, где $x$ — любое число из области определения.

Функцию называют непрерывной на промежутке, если она определена в каждой точке этого промежутка, и малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции — график тогда рисуется одной сплошной линией, без разрывов.

Три примера графиков

Справа — переключатель между тремя функциями. Обрати внимание: у $y=\tfrac1x$ область определения — не вся числовая прямая, а $(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$: график состоит из двух отдельных ветвей, функция не определена в точке $x=0$ и разрывна.

⚠️ Частая ошибкаПутать функцию $y=f(x)$ с её графиком. Функция — это правило (закон соответствия), график — лишь один из способов его изобразить. Одну и ту же функцию можно задать формулой, таблицей или словесным описанием.

Запомни

🧠 Понятие функции
  • $y=f(x)$ — каждому $x\in X$ соответствует ровно одно $y$;
  • $D(f)$ — область определения (какие $x$ подставлять можно), $E(f)$ — область изменения (какие $y$ получаются);
  • график — множество точек $(x;f(x))$ на координатной плоскости;
  • непрерывная функция — график без разрывов; $y=\tfrac1x$ разрывна в $x=0$.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике