📦
Из жизниПлощадь квадрата со стороной $x$ растёт как $x^2$, а объём куба — как $x^3$. Увеличь ребро куба вдвое — объём вырастет не в 2, а в $2^3=8$ раз. Чем больше показатель $n$, тем быстрее функция $y=x^n$ «разгоняется» при больших $x$.
Свойства для x ≥ 0
Рассмотрим $y=x^n$, где $n\ge2$ — натуральное число. Область определения — вся числовая прямая. Для $x\ge0$:
- при $x=0$: $y=0$;
- при $x=1$: $y=1$ (график проходит через точки $(0;0)$ и $(1;1)$);
- при $x>0$: $y>0$;
- функция возрастает на $[0;+\infty)$;
- при $x\to+\infty$: $y\to+\infty$;
- функция непрерывна.
На интервале $(0;1)$ выполняется $1>x>x^2>x^3>\ldots$ (умножаем неравенство $1>x$ на положительное $x$ снова и снова). На интервале $(1;+\infty)$ — обратный порядок: $1 \lt x \lt x^2 \lt x^3 \lt \ldots$
Чётность и нечётность
Если $n=2m$ — чётное, то $(-x)^{2m}=x^{2m}$: функция чётная, график симметричен относительно оси $Oy$. Если $n=2m+1$ — нечётное, то $(-x)^{2m+1}=-x^{2m+1}$: функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.
⚠️
Частая ошибкаСчитать, что $y=x^n$ всегда возрастает на всей прямой. Это верно только для нечётного $n$. При чётном $n$ функция убывает на $(-\infty;0]$ и только потом возрастает на $[0;+\infty)$ — двигай ползунок справа и сравни $x^2$ с $x^3$.