Для нечётного $n$ понятия «корень нечётной степени из $b\ge0$» и «арифметический корень» совпадают — там и так только один неотрицательный корень. Для чётного $n$ из положительного $b$ существуют два корня: положительный $\sqrt[n]{b}$ (арифметический — этот и берём) и отрицательный $-\sqrt[n]{b}$ (не арифметический, отбрасываем). $\sqrt[n]{0}=0$ по определению.
Для отрицательного $b$ и нечётного $n=2m+1$: $\sqrt[2m+1]{b}=-\sqrt[2m+1]{|b|}$ (например, $\sqrt[3]{-4}=-\sqrt[3]{4}$). Для отрицательного $b$ и чётного $n$ запись $\sqrt[n]{b}$ смысла не имеет.
Теорема 1. Для натурального $n\ge2$ и неотрицательного $a$: $(\sqrt[n]{a})^n=a$ и $\sqrt[n]{a^n}=a$.
Теорема 2. Для неотрицательных $a,b$: из $a^n=b^n$ следует $a=b$ (существует только один неотрицательный корень).
Теорема 3. Для неотрицательных $a,b$ и $c\ne0$: $\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a/c}=\sqrt[n]{a}/\sqrt[n]{c}$.
Эти свойства используют для вынесения множителя из-под корня: $\sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{16\cdot3}=2\sqrt[4]{3}$.