Алгебра 10 класс: Свойства корней степени n

        🪆
        Из жизниМатрёшка внутри матрёшки — «корень из корня» устроен так же: сначала «вскрываем» внешний слой, потом внутренний. Оказывается, для корней это можно сделать за один шаг: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$, показатели просто перемножаются.
      

Теорема 1

📐 ТеоремаДля натуральных $m,n\ge2$ и неотрицательного $a$:

1. $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

2. $\sqrt[mn]{a^m}=\sqrt[n]{a}$ (корень из корня свёртывается)

3. $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

Каждое равенство доказывается возведением обеих частей в подходящую степень и применением того факта, что равные неотрицательные числа в одинаковой степени дают равные степени (и наоборот).

Если $m$ и $n$ нечётные, теорема верна для любых действительных $a$, включая отрицательные.

Теоремы 2 и 3

Теорема 2. Для натурального $m$ и любого действительного $a$: $\sqrt[2m]{a^{2m}}=|a|$ (чётная степень — под корнем нужен модуль). Для нечётной степени модуль не нужен: $\sqrt[2m+1]{a^{2m+1}}=a$.

Теорема 3. Пусть $a>0$, $p$ — целое число, $n\ge2$ — натуральное. Тогда $\sqrt[n]{a^p}=(\sqrt[n]{a})^p$ — свойство работает даже для отрицательных показателей $p$.

⚠️ Частая ошибкаПисать $\sqrt{a^2}=a$ без модуля. Правильно $\sqrt{a^2}=|a|$: например, $\sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$, а вовсе не $-5$.

Запомни

🧠 Свойства корней степени n

$(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$ — степень корня;
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$ — корень из корня, показатели перемножаются;
$\sqrt[2m]{a^{2m}}=|a|$ — чётная степень требует модуль;
$\sqrt[n]{a^p}=(\sqrt[n]{a})^p$ — верно и для целых отрицательных $p$ (при $a>0$).

§3 · п.3.5 Арифметический корень Все темы §3 · п.3.7* Функция y = ⁿ√x, x ≥ 0