🔀Из жизниУ нечётной степени всё «однозначно» — как у высоты: одному числу метров соответствует ровно один результат в любую сторону. А у чётной степени, как у расстояния от нуля — и $+3$, и $-3$ дают один и тот же квадрат $9$, поэтому корней два.
Теорема 1 — нечётная степень
📐ТеоремаСуществует, и притом единственный, корень нечётной степени из любого действительного числа $b$: из положительного — положительный, из отрицательного — отрицательный, из нуля — нуль.
1Функция $y=x^{2m+1}$ возрастает на всей прямой и принимает все значения от $-\infty$ до $+\infty$.
2Она непрерывна и симметрична относительно начала координат.
3Прямая $y=b$ пересекает такой график ровно в одной точке — это и есть единственный корень $\sqrt[2m+1]{b}$.
Теорема 2 — чётная степень
📐ТеоремаСуществуют два и только два корня чётной степени из любого положительного числа $b$, отличающиеся только знаком. Корень чётной степени из нуля единственный и равен нулю. Корня чётной степени из отрицательного числа не существует.
1Возведение любого ненулевого числа в чётную степень $2m$ даёт положительное число — для отрицательного $b$ решений нет.
2Функция $y=x^{2m}$ убывает на $(-\infty;0]$ и возрастает на $[0;+\infty)$, симметрична относительно $Oy$.
3Для положительного $b$ прямая $y=b$ пересекает график в двух точках с противоположными абсциссами $\pm a$: $\sqrt[2m]{b}$ (положительный) и $-\sqrt[2m]{b}$ (отрицательный).
При изучении комплексных чисел показывается, что корни чётной степени из отрицательных чисел — комплексные; фраза «не существует» означает отсутствие действительного корня.
Запомни
🧠Число корней степени n
нечётная степень — ровно 1 корень для любого $b$, знак совпадает со знаком $b$;