🔄
Из жизниЕсли функция $y=x^n$ — это «возведение в степень», то $y=\sqrt[n]{x}$ — обратное действие, «извлечение корня». График такой функции — это график $x=y^n$, только повёрнутый: как будто посмотрели на прежнюю кривую с другой стороны.
Свойства
Каждому $x\ge0$ ставится в соответствие $y=\sqrt[n]{x}$. Область определения — $[0;+\infty)$.
- при $x=0$: $y=0$;
- при $x>0$: $y>0$;
- функция возрастает;
- при $x\to+\infty$: $y\to+\infty$;
- функция непрерывна.
Доказательство возрастания (от противного). Если бы для $0\le x_1 \lt x_2$ было $\sqrt[n]{x_1}\ge\sqrt[n]{x_2}$, то возведя обе неотрицательные части в степень $n$, получили бы $x_1\ge x_2$ — противоречие условию.
Сравнение корней разных степеней
Если $x>1$, то $\sqrt[n]{x}>1$; если $0 \lt x \lt 1$, то $0<\sqrt[n]{x}<1$.
На интервале $(0;1)$: $\sqrt{x}<\sqrt[3]{x}<\sqrt[4]{x}<\ldots$ — чем больше степень корня, тем ближе к 1 результат (значение растёт). На интервале $(1;+\infty)$ — обратный порядок: $\sqrt{x}>\sqrt[3]{x}>\sqrt[4]{x}>\ldots$
⚠️
Частая ошибкаДумать, что корень степени выше — «всегда меньше». Это верно только при $x>1$. При $0 \lt x \lt 1$ всё наоборот: увеличивая степень корня, значение растёт, приближаясь к 1 — переключай ползунок $n$ справа и смотри на точку $x=0{,}5$.