♻️
Из жизниДолг в 8 единиц — это как $-8$, и «кубический корень из долга» вполне осмыслен: $\sqrt[3]{-8}=-2$, ведь $(-2)^3=-8$. В отличие от квадратного, кубический корень «не боится» отрицательных чисел.
Область определения зависит от чётности n
Для чётного $n=2m$ область определения — $[0;+\infty)$, как в предыдущем пункте. Для нечётного $n=2m+1$ корень определён для всех действительных $x$: при $x\ge0$ — это обычный арифметический корень, при $x<0$ используется равенство $\sqrt[2m+1]{x}=-\sqrt[2m+1]{|x|}$.
🔑
Ключевое свойствоФункция $y=\sqrt[2m+1]{x}$ рассматривается на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, причём $\sqrt[2m+1]{-x}=-\sqrt[2m+1]{x}$ — функция нечётная, график симметричен относительно начала координат.
Свойства y = ²ᵐ⁺¹√x (x ∈ R)
- область определения — $\mathbb{R}$;
- область изменения — $\mathbb{R}$;
- функция возрастает на всей прямой;
- функция нечётная;
- функция непрерывна.
⚠️
Частая ошибкаСчитать, что $\sqrt[n]{x}$ при $x<0$ не имеет смысла всегда. Это верно только для чётного $n$. Для нечётного $n$ (3, 5, 7, …) корень из отрицательного числа существует и тоже отрицателен.