Когда ты прикидываешь в магазине: «куплю 3 шоколадки по 70 рублей и 2 сока по 50» — в уме
уже складывается запись 3 ⋅ 70 + 2 ⋅ 50. Результат ты ещё не посчитал, но
уже точно знаешь, какие действия и в каком порядке нужно выполнить. Вот это и есть числовое
выражение.
💡 Из жизни: кулинарный рецепт устроен так же — «сначала обжарь лук (это
как скобки), потом добавь остальное». Скобки в числовом выражении точно так же указывают,
какое действие нужно выполнить в первую очередь.
Определение. По данным задачи с помощью чисел, знаков действий и скобок
составляется числовое выражение. Если выполнить в нём все указанные
действия, получится действительное число — его называют значением числового
выражения.
Например, выполнив все действия в выражении $3\cdot70+2\cdot50$, получаем
$210+100=310$ — число $310$ и есть значение этого выражения.
Заметь: числовое выражение может состоять даже из одного числа — это тоже выражение,
просто с уже готовым, посчитанным значением.
Задача 1. Средняя скорость
Путник шёл 3 ч со скоростью 4 км/ч и 2 ч со скоростью 5 км/ч. Найдём среднюю скорость
путника на пройденном участке пути.
1
Сначала посчитаем расстояние на каждом участке: за первые 3 ч со скоростью 4 км/ч
путник прошёл $3\cdot4=12$ км, а за следующие 2 ч со скоростью 5 км/ч — $2\cdot5=10$ км.
Весь путь: $12+10=22$ (км).
2
Теперь посчитаем всё время в пути: $3+2=5$ (ч).
3
Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время:
$$\dfrac{22}{5}=4{,}4\ \text{(км/ч)}.$$
Короче это решение можно записать одним числовым выражением:
$$\dfrac{3\cdot4+2\cdot5}{3+2}=\dfrac{22}{5}=4{,}4.$$
Задача 2. Процент олова в сплаве
Первый кусок сплава массой 300 г содержит 20% олова, а второй кусок массой 700 г
содержит 40% олова. Определим процентное содержание олова в новом сплаве, полученном
сплавлением этих кусков.
1
Найдём массу олова в каждом куске: в первом — $0{,}2\cdot300=60$ (г), во втором —
$0{,}4\cdot700=280$ (г). Всего олова: $60+280=340$ (г).
2
Найдём массу нового сплава: $300+700=1000$ (г).
3
Олово составляет от всего сплава:
$$\dfrac{340\cdot100}{1000}=34\ (\%).$$
Одним числовым выражением: $$\dfrac{(0{,}2\cdot300+0{,}4\cdot700)\cdot100}{300+700}=
\dfrac{340\cdot100}{1000}=34.$$
Когда выражение не имеет смысла
Сложение, вычитание и умножение всегда можно выполнить над любыми числами. А вот делить
одно число на другое можно, только если делитель не равен нулю: на нуль делить
нельзя. Если на каком-то этапе вычислений требуется разделить на нуль — такое
выражение не имеет смысла.
Посмотрим на примере: в числителе стоит $5+3$,
а в знаменателе — $2-2$.
⚠️ Частая ошибка: ученик механически «решает» выражение по действиям, не
замечая, что в знаменателе получается нуль. Но $2-2=0$, а делить на нуль нельзя — значит
всё выражение $\dfrac{5+3}{2-2}$ не имеет смысла,
и никакого числового ответа у него просто нет.
Запомни
🧠 Числовое выражение — это числа, знаки действий и скобки, которые задают, что и в каком
порядке считать. Выполнив все действия, получаем значение выражения —
одно число. Скобки определяют порядок действий. Складывать, вычитать и умножать можно
всегда, а делить — только если делитель не равен нулю: иначе выражение не имеет
смысла.