Алгебра 10 класс: Степень с рациональным показателем

        🎯
        Из жизниРецепт на кухне часто записывают в «дробных порциях»: 2/3 чашки муки — не выдумка, а понятная величина. Так же со степенью: показатель 2/3 у числа — не мистика, а обычное действие «сначала извлечь корень, потом возвести в степень» (или наоборот), просто записанное дробью.
      

Что значит дробный показатель

Для целых показателей степень уже определена: $a^n$ — это $a$, умноженное само на себя $n$ раз. А что делать с показателем $\tfrac{2}{3}$? Договорились так:

🔑 ОпределениеПусть $a>0$, $\dfrac{p}{q}$ — рациональное число ($p$ — целое, $q$ — натуральное, $q\ge2$). Тогда по определению $$a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^{p}}$$

Например: $5^{2/3}=\sqrt[3]{5^2}$, $3^{1/2}=\sqrt3$, $2^{-3/4}=\sqrt[4]{2^{-3}}$.

Форма записи не важна

Теорема утверждает, что для $a>0$, целого $p$, натуральных $k,q\ge2$ верно:

$$a^{\frac{p}{q}} = \left(a^{\frac1q}\right)^{p} = a^{\frac{pk}{qk}}$$

Второе равенство — самое важное на практике: значение степени не зависит от того, как записана дробь $\tfrac{p}{q}$ — сократили её или умножили числитель и знаменатель на одно число, результат один и тот же. Иначе определение было бы противоречивым: одно и то же число получало бы разные значения.

Также при $q=1$ получаем $a^{p/1}=a^p$ — определение степени с рациональным показателем не противоречит уже известному определению степени с целым показателем, а продолжает его.

Пример: два пути к одному числу

Вычислим $8^{2/3}$ двумя способами — по формуле $\left(\sqrt[q]{a}\right)^p$ и по формуле $\sqrt[q]{a^p}$ — и убедимся, что ответ один. Смотри интерактив справа: нажимай «Следующий шаг».

Запомни

🧠 Степень с рациональным показателем

$a^{p/q}=\sqrt[q]{a^p}$ — определено только для $a>0$;
значение не зависит от формы записи дроби $p/q$;
при $q=1$ определение совпадает с обычной целой степенью.

§3 · п.3.9* Корень степени n из натурального числа Все темы §4 · п.4.2 Свойства степени с рациональным показателем