Алгебра 10 класс: Свойства степени с рациональным показателем

        🎯
        Из жизниВклад в банке с постоянной ставкой растёт тем сильнее, чем дольше он лежит — сумма после «дробного» года больше суммы после начала года. Со степенью $a^r$ при $a>1$ похожая логика: чем больше показатель $r$, тем больше значение степени. А вот при $a<1$ (например, распад вещества) — наоборот, всё убывает.
      

Степень всегда положительна

Первое, что стоит знать: положительное число в любой рациональной степени остаётся положительным.

🔑 Теорема 1Для $a>0$ и любого рационального $r$: $\;a^{r}>0$.

Действия со степенями — как и раньше

Для $a>0$ и рациональных $r_1, r_2$ сохраняются все привычные правила действий со степенями:

$$a^{r_1}\cdot a^{r_2}=a^{r_1+r_2}, \qquad a^{r_1}:a^{r_2}=a^{r_1-r_2}, \qquad \left(a^{r_1}\right)^{r_2}=a^{r_1 r_2}$$

А для $a,b>0$ работают ещё и правила степени произведения и частного:

$$(ab)^{r}=a^{r}b^{r}, \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{r}=\frac{a^{r}}{b^{r}}$$

Возрастание или убывание — зависит от основания

Самое важное для практики — как ведёт себя $a^r$ при увеличении показателя $r$. Смотри интерактивный график справа: переключай основание и наблюдай.

🔑 Теорема 5Если $a>1$ и $r_1 \lt r_2$, то $\;a^{r_1} \lt a^{r_2}$ — степень возрастает с ростом показателя.

🔑 Теорема 6Если $0 \lt a \lt 1$ и $r_1 \lt r_2$, то $\;a^{r_1}>a^{r_2}$ — степень убывает с ростом показателя.

Запомни

🧠 Свойства степени с рациональным показателем

$a^r>0$ всегда при $a>0$;
умножение/деление степеней — сложение/вычитание показателей, как обычно;
$a>1$ — степень растёт с показателем; $0 \lt a \lt 1$ — убывает.

§4 · п.4.1 Степень с рациональным показателем Все темы §4 · п.4.3* Понятие предела последовательности