10 класс · Корни, степени, логарифмы

4.3*. Понятие предела последовательности

🎯 Из жизниКогда паркуешься параллельно, подъезжаешь всё точнее и точнее — сначала грубо, потом на сантиметры, потом на миллиметры, но никогда не «доезжаешь» до идеала за один рывок. Число $x_n=\tfrac1n$ ведёт себя так же: с каждым шагом $n$ подходит к нулю всё ближе, но каждое отдельное значение $x_n$ ещё не ноль.

Последовательность — это функция от номера

Числовая последовательность $\{x_n\}$ — правило, которое каждому натуральному номеру $n$ ставит в соответствие число $x_n$. Например, $x_n=\tfrac1n$ даёт числа $1,\ \tfrac12,\ \tfrac13,\ \tfrac14,\dots$

Бесконечно малая переменная

🔑 ОпределениеПеременную $\alpha_n$ называют бесконечно малой, если для любого сколь угодно малого $\varepsilon>0$ найдётся номер $N$, начиная с которого (при всех $n>N$) выполняется $|\alpha_n| \lt \varepsilon$.

Проще говоря: как ни сужай «коридор» вокруг нуля, все члены последовательности рано или поздно туда попадут и останутся.

Предел последовательности

🔑 ОпределениеЕсли $x_n$ можно представить в виде $x_n=a+\alpha_n$, где $\alpha_n$ — бесконечно малая, то говорят, что последовательность имеет предел $a$: $$\lim_{n\to\infty} x_n = a$$

Двигай ползунок номера $n$ на графике — точка $x_n=\tfrac1n$ заходит в оранжевую $\varepsilon$-полосу вокруг нуля и больше её не покидает.

Ещё примеры: $\lim \dfrac{n-1}{n}=\lim\left(1-\dfrac1n\right)=1$; а вот переменная $(-1)^n$ предела не имеет — она прыгает между $-1$ и $1$ и никогда не «садится» рядом с одним числом.

Бесконечно большая переменная

Если $x_n$, наоборот, неограниченно растёт по модулю — для любого $M>0$ найдётся номер $N$, что при $n>N$ выполняется $|x_n|>M$ — переменную называют бесконечно большой и пишут $\lim x_n=\infty$. Например, $x_n=n\to+\infty$, а $z_n=(-1)^n n\to\infty$ без определённого знака.

Запомни

🧠 Предел последовательности
  • $\lim x_n=a$ означает: $x_n-a$ — бесконечно малая при $n\to\infty$;
  • «бесконечно малая» — не одно маленькое число, а вся хвостовая часть последовательности, зажатая в сколь угодно узкой полосе;
  • не у каждой последовательности есть предел (пример: $(-1)^n$).

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике