10 класс · Корни, степени, логарифмы

4.4*. Свойства пределов

          🎯
          Из жизниЕсли два бегуна замедляются и оба выходят на постоянную скорость, то и сумма пройденных ими расстояний растёт с предсказуемой суммарной скоростью. С пределами так же: если у каждой из двух переменных есть предел, то предел суммы, разности, произведения и (при ненулевом делителе) частного — тоже есть, и вычисляется «по отдельности».
        

Арифметика пределов

Для последовательностей $x_n, y_n$ (для частного — $y_n\ne0$) верно:

$$\lim(x_n+y_n)=\lim x_n+\lim y_n,\qquad \lim(x_n-y_n)=\lim x_n-\lim y_n$$

$$\lim(x_n\cdot y_n)=\lim x_n\cdot\lim y_n,\qquad \lim\dfrac{x_n}{y_n}=\dfrac{\lim x_n}{\lim y_n}\ \ (\lim y_n\ne0)$$

Смысл этих равенств: если пределы справа существуют, то существует и предел слева, и он им равен.

Разбор примера по шагам

Вычислим $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+3}{n+1}$. Смотри интерактив: делим числитель и знаменатель на $n$, чтобы получить предел каждого слагаемого по отдельности.

Неопределённости — не считаются автоматически

Выражения вида $\tfrac00$ и $\tfrac{\infty}{\infty}$ не имеют общего правила — предел в каждом случае вычисляется отдельно, обычно после преобразования выражения (деление на старшую степень, домножение на сопряжённое и т.п.). Например, $\lim\left(\sqrt[3]{n+2}-\sqrt[3]{n}\right)=0$ — после домножения на неполный квадрат суммы знаменатель стремится к $+\infty$, а числитель остаётся постоянным.

Запомни

🧠 Свойства пределов

сумма, разность, произведение, частное пределов — предел суммы, разности и т.д. (при существовании);
стандартный приём — разделить числитель и знаменатель на старшую степень $n$;
$\tfrac00$ и $\tfrac{\infty}{\infty}$ не считаются «в лоб» — нужна предварительная алгебра.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике