Для последовательностей $x_n, y_n$ (для частного — $y_n\ne0$) верно:
$$\lim(x_n+y_n)=\lim x_n+\lim y_n,\qquad \lim(x_n-y_n)=\lim x_n-\lim y_n$$
$$\lim(x_n\cdot y_n)=\lim x_n\cdot\lim y_n,\qquad \lim\dfrac{x_n}{y_n}=\dfrac{\lim x_n}{\lim y_n}\ \ (\lim y_n\ne0)$$
Смысл этих равенств: если пределы справа существуют, то существует и предел слева, и он им равен.
Вычислим $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+3}{n+1}$. Смотри интерактив справа: делим числитель и знаменатель на $n$, чтобы получить предел каждого слагаемого по отдельности.
Выражения вида $\tfrac00$ и $\tfrac{\infty}{\infty}$ не имеют общего правила — предел в каждом случае вычисляется отдельно, обычно после преобразования выражения (деление на старшую степень, домножение на сопряжённое и т.п.). Например, $\lim\left(\sqrt[3]{n+2}-\sqrt[3]{n}\right)=0$ — после домножения на неполный квадрат суммы знаменатель стремится к $+\infty$, а числитель остаётся постоянным.