10 класс · Корни, степени, логарифмы
4.5*. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Из жизниМячик, падая с высоты, отскакивает каждый раз всё ниже — на половину предыдущей высоты. Кажется, что он прыгает бесконечно долго, но суммарный путь, который он пролетает, — конечное число! Это и есть суть бесконечно убывающей геометрической прогрессии: бесконечно много слагаемых, а сумма — конечна.
Частичная сумма прогрессии
Для геометрической прогрессии $a,\ aq,\ aq^2,\dots,aq^{n-1},\dots$ ($a\ne0$, $q\ne0$, $q\ne1$) сумма первых $n$ членов:
$$S_n=\dfrac{a(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{a}{1-q}-\dfrac{a}{1-q}\cdot q^n$$
Что происходит, если |q| < 1
ОпределениеЕсли $|q|<1$, прогрессию называют бесконечно убывающей. Так как при $|q|<1$ слагаемое $\dfrac{a}{1-q}q^n\to0$ при $n\to\infty$, существует предел
$$\lim_{n\to\infty} S_n=\dfrac{a}{1-q}$$
Этот предел называют суммой бесконечно убывающей прогрессии и записывают $a+aq+aq^2+\dots=\dfrac{a}{1-q}$. Смотри интерактив: полоса заполняется на $S_n$ и никогда не «перепрыгивает» предельную границу.
Если $|q|>1$, то $S_n\to\infty$; при $q=1$ — $S_n=na\to+\infty$; при $q=-1$ — $S_n$ вообще не стремится к пределу (чередует $a$ и $0$). В этих случаях говорят, что ряд расходится.
Запомни
БУГП
- работает только при $|q|<1$;
- сумма ряда $=\dfrac{a}{1-q}$ — это предел частичных сумм, а не «сумма бесконечного числа слагаемых» в буквальном смысле;
- при $|q|\ge1$ (кроме особых случаев) ряд расходится — числа не приписывают.