🎯Из жизниЕсли банк начисляет проценты не раз в год, а чаще — раз в месяц, в день, в секунду — то сумма вклада растёт, но не бесконечно: она стремится к вполне конкретному пределу. Именно этот предел и породил одно из самых знаменитых чисел математики — число $e$.
Монотонная и ограниченная — значит, имеет предел
Переменная $x_n$ не убывает, если $x_n\le x_{n+1}$ для всех $n$; ограничена сверху числом $M$, если $x_n\le M$ для всех $n$.
🔑ТеоремаЕсли переменная $x_n$ не убывает и ограничена сверху числом $M$, то она имеет предел $a\le M$. (Строгое доказательство — в курсе матанализа для вузов, через свойство непрерывности действительных чисел.)
Например: $x_n=\dfrac{n}{n+1}=1-\dfrac1{n+1}$ не убывает и ограничена сверху числом $1$, значит $\lim x_n=1$.
Рождение числа e
Рассмотрим переменную $u_n=\left(1+\dfrac1n\right)^n$. Можно показать, что вспомогательная переменная $v_n=\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}$ не возрастает и ограничена снизу, значит имеет предел; а так как $u_n=\dfrac{v_n}{1+1/n}$, то и $u_n$ имеет предел. Двигай ползунок $n$ справа и смотри, как $u_n$ подбирается к пределу.
🔑ОпределениеЭтот предел называют числом $e$:
$$e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1n\right)^{n}=2{,}718281828459045\dots$$
Запомни
🧠Число e
$e\approx2{,}718$ — иррациональное число, как и $\pi$;
появляется как предел последовательности $(1+1/n)^n$;
монотонная + ограниченная последовательность — гарантированно имеет предел (теорема о монотонной последовательности).