4.7*. Понятие степени с иррациональным показателем
🎯Из жизниЧисло $\sqrt3$ невозможно записать конечной десятичной дробью — но его можно сколь угодно точно приблизить: $1,7$; $1,73$; $1,732$; $1,7320$... Чтобы придать смысл выражению $2^{\sqrt3}$, поступают так же — приближают показатель рациональными числами и смотрят, к чему сходится результат.
Степень через предел приближений
Для $a>0$, $a\ne1$ и иррационального $\alpha$ степень $a^{\alpha}$ определяют через предел последовательности рациональных приближений.
🔑ОпределениеПусть $r_1\le r_2\le\dots\le r_k\le\dots$ — рациональные приближения числа $\alpha$ «снизу» ($r_k\to\alpha$). Тогда
$$a^{\alpha}=\lim_{k\to\infty} a^{r_k}$$
(переменная $a^{r_k}$ не убывает и ограничена сверху, значит предел существует).
Значение $a^{\alpha}$ не зависит от того, какую именно последовательность приближений выбрать. По определению: $1^{\alpha}=1$ для любого $\alpha$; $0^{\alpha}=0$ для положительного $\alpha$; записи $0^0$ и $0^{-\alpha}$ смысла не имеют.
Пример: приближаем 2^√3
Смотри интерактив справа: с каждым шагом берём более точное рациональное приближение $\sqrt3\approx1{,}732050\dots$ и вычисляем $2^{r_k}$ — значения сходятся к $2^{\sqrt3}$.
Все привычные свойства степени сохраняются и для действительных показателей: $a^{\alpha+\beta}=a^{\alpha}a^{\beta}$, $a^{\alpha-\beta}=a^{\alpha}:a^{\beta}$, $(a^{\alpha})^{\beta}=a^{\alpha\beta}$. Сохраняется и монотонность: например, $2^{\sqrt3} \lt 4$, потому что $2>1$ и $\sqrt3<2$, поэтому $2^{\sqrt3} \lt 2^2=4$.
Запомни
🧠Степень с иррациональным показателем
$a^{\alpha}$ для иррационального $\alpha$ — это предел $a^{r_k}$ по рациональным приближениям $r_k\to\alpha$;
значение не зависит от выбора последовательности приближений;
все свойства степени (сложение/вычитание показателей, монотонность) сохраняются.