10 класс · Корни, степени, логарифмы
4.8*. Показательная функция
Из жизниВирус, распространяясь без ограничений, удваивает число заражённых через равные промежутки времени — рост описывается функцией $y=a^x$ с $a>1$. А остывающий чай или распадающееся вещество, наоборот, теряют постоянную долю за равные промежутки — это уже $y=a^x$ с $0 \lt a \lt 1$.
От рациональных x — к любым действительным
Сначала $y=a^x$ ($a>0$, $a\ne1$) рассматривают только на рациональных $x$ — там степень уже определена. Полученный «точечный» график можно единственным образом «дополнить» точками для иррациональных $x$, получив непрерывную функцию на всей числовой прямой — это и называют показательной функцией.
Возрастание или убывание
Двигай переключатель основания справа и смотри, как меняется график.
Свойства $y=a^x$
- $a^x>0$ при любом $x$ — график целиком выше оси $x$;
- если $a>1$ — функция возрастает, $a^x\to+\infty$ при $x\to+\infty$, $a^x\to0$ при $x\to-\infty$;
- если $0 \lt a \lt 1$ — функция убывает, $a^x\to0$ при $x\to+\infty$, $a^x\to+\infty$ при $x\to-\infty$;
- функция непрерывна на всей числовой прямой.
Для любых действительных $x_1,x_2$: $a^{x_1}\cdot a^{x_2}=a^{x_1+x_2}$, $a^{x_1}:a^{x_2}=a^{x_1-x_2}$, $\left(a^{x_1}\right)^{x_2}=a^{x_1 x_2}$ — все привычные правила действуют без исключений.
Экспонента
Функцию $y=e^x$ называют экспоненциальной функцией (или просто экспонентой) — здесь $e\approx2{,}718$ — особое число. Иногда экспонентой называют любую функцию вида $y=a^x$.
Запомни
Показательная функция
- область определения — все действительные числа, область значений — $(0;+\infty)$;
- $a>1$ — возрастает; $0 \lt a \lt 1$ — убывает; график всегда проходит через точку $(0;1)$;
- $y=e^x$ — экспонента, важнейшая показательная функция в математике.