10 класс · Корни, степени, логарифмы

Понятие логарифма

          🎯
          Из жизниВ прошлой теме по времени $t$ мы находили число бактерий $N=2^t$. Логарифм отвечает на обратный вопрос: через сколько часов бактерий станет, скажем, 1024? Нужно решить $2^{t}=1024$ относительно $t$ — то есть найти показатель степени по известному результату. Это и есть логарифмирование.
        

Определение

🔑 ЛогарифмЛогарифмом положительного числа $b$ по основанию $a$ ($a>0$, $a\ne1$) называют число $\alpha$, такое что $b=a^{\alpha}$. Обозначение: $\alpha=\log_a b$.

Прямая $y=b$ пересекает график $y=a^x$ ровно в одной точке — её абсцисса и есть искомое число $\alpha=\log_a b$. Подвигай ползунок $b$ и посмотри, как эта точка бегает по кривой.

Из определения сразу следует основное логарифмическое тождество:

$$a^{\log_a b}=b$$

Так как $a^{\alpha}$ — всегда положительное число при любом $\alpha$, логарифм отрицательного числа и логарифм нуля не существуют (не имеют смысла): $b$ обязано быть положительным.

Примеры вычислений

$\log_2 1=0$, так как $2^0=1$. $\log_3 27=3$, так как $3^3=27$. $\log_5 125=3$, так как $5^3=125$. $\log_{10} 0{,}001=-3$, так как $10^{-3}=0{,}001$.

Натуральный и десятичный логарифм

Логарифм по основанию $e$ называют натуральным логарифмом и пишут $\ln b$ вместо $\log_e b$. Примеры: $\ln e^3=3$, $\ln\tfrac{1}{e}=-1$.

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и пишут $\lg b$ вместо $\log_{10} b$. Примеры: $\lg 1=0$, $\lg 10=1$, $\lg 100=2$, $\lg 0{,}1=-1$, $\lg 0{,}01=-2$.

⚠️ Частая ошибкаЛогарифм отрицательного числа или нуля не существует — записи вида $\log_2(-4)$ или $\log_2 0$ бессмысленны. Не путай это с тем, что сам логарифм $\alpha$ может быть отрицательным (например, $\log_2 0{,}25=-2$) — отрицательным может быть результат, но не число под знаком логарифма.

Запомни

🧠 Логарифм

$\log_a b=\alpha \iff b=a^{\alpha}$, где $a>0$, $a\ne1$, $b>0$;
основное тождество: $a^{\log_a b}=b$;
$\ln b=\log_e b$ — натуральный, $\lg b=\log_{10}b$ — десятичный логарифм.

Закрепи в практике

Каждый вариант — с новыми числами; разбор после каждого ответа.

Перейти к практике