🎯Из жизниГромкость звука в децибелах — это тоже логарифм (отношения мощностей). Когда два одинаковых динамика играют одновременно, суммарная мощность звука удваивается — а громкость в децибелах не удваивается, а просто прибавляется одно и то же число. Это и есть свойство логарифма произведения: умножение чисел превращается в сложение логарифмов.
🔑Три свойства
$$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N$$
$$\log_a\frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$$
$$\log_a(M^{\gamma})=\gamma\log_a M$$
Словами: логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей; логарифм частного — разности логарифмов делимого и делителя; логарифм степени — произведению показателя на логарифм основания.
Доказательство (логарифм произведения)
1Обозначим $\alpha=\log_a M$ и $\beta=\log_a N$. По определению логарифма это значит $M=a^{\alpha}$, $N=a^{\beta}$.
2Перемножим: $M\cdot N=a^{\alpha}\cdot a^{\beta}=a^{\alpha+\beta}$ — свойство степеней из предыдущего параграфа.
3По определению логарифма из $MN=a^{\alpha+\beta}$ следует $\log_a(MN)=\alpha+\beta=\log_a M+\log_a N$. Свойства частного и степени доказываются точно так же.
Частный случай ($M=b$): $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$ — логарифмы «в разные стороны» взаимно обратны.
⚠️Частая ошибкаСвойства работают только для суммы/разности логарифмов, а не для логарифма суммы: $\log_a M+\log_a N=\log_a(MN)$ — это верно, а вот $\log_a(M+N)$ никак не раскладывается на $\log_a M+\log_a N$ — такого правила не существует.