10 класс · Корни, степени, логарифмы
Логарифмическая функция
Из жизниВ теме про показательную функцию $y=a^x$ время было аргументом, а результат (число бактерий) — значением. Логарифмическая функция — это тот же процесс, только «наоборот»: по результату находим время. График $y=\log_a x$ — это зеркальное отражение графика $y=a^x$ относительно прямой $y=x$.
Определение
Логарифмическая функцияФункцию $y=\log_a x$ ($a>0$, $a\ne1$) на множестве положительных $x$ называют логарифмической функцией. Область определения — $(0;+\infty)$.
Равенства $x=a^y$ и $y=\log_a x$ выражают одну и ту же зависимость — просто записанную по-разному. Поэтому график $x=a^y$ (для всех $y\in\mathbb{R}$) одновременно является и графиком $y=\log_a x$ (для $x>0$).
Возрастание или убывание
Переключай основание справа — синяя кривая $\log_a x$, серая пунктирная — $a^x$ для сравнения, тонкая точечная — прямая $y=x$, ось симметрии двух кривых.
При $a>1$
- функция непрерывна и возрастает на $(0;+\infty)$;
- при $x\to+\infty$: $y\to+\infty$; при $x\to0$: $y\to-\infty$;
- так как $\log_a 1=0$: при $x>1$ значения $y>0$, при $0 \lt x \lt 1$ значения $y \lt 0$.
При $0 \lt a \lt 1$
- функция непрерывна и убывает на $(0;+\infty)$;
- при $x\to+\infty$: $y\to-\infty$; при $x\to0$: $y\to+\infty$;
- при $x>1$ значения $y \lt 0$, при $0 \lt x \lt 1$ значения $y>0$.
Запомни
Логарифмическая функция $y=\log_a x$
- область определения — $(0;+\infty)$, область значений — все действительные числа;
- $a>1$ — возрастает; $0 \lt a \lt 1$ — убывает; график всегда проходит через точку $(1;0)$;
- график $y=\log_a x$ — зеркальное отражение графика $y=a^x$ относительно прямой $y=x$.