10 класс · Корни, степени, логарифмы
5.4*. Десятичные логарифмы
Из жизниДо калькуляторов инженеры находили $\lg A$ по толстым таблицам, а находили только для чисел от 1 до 10 — для любого другого числа таблица была не нужна: достаточно «сдвинуть запятую» и прибавить целое число. Именно это и стоит за понятиями характеристики и мантиссы.
Стандартный вид числа
Любое положительное число $A$ можно записать в стандартном виде: $A=a\cdot10^{k}$, где $1\le a \lt 10$, а $k$ — целое число. По свойству логарифма произведения:
$$\lg A=\lg a+k$$
Характеристика и мантиссаЧисло $k$ называют характеристикой логарифма — это целая часть $\lg A$. Число $\lg a$ называют мантиссой — это дробная часть $\lg A$, причём всегда $0\le\lg a \lt 1$ (так как $1\le a \lt 10$ и $\lg$ возрастает: $\lg1=0\le\lg a \lt \lg10=1$).
Подвигай точку на числовой прямой — она показывает значение $\lg A$, а цветной сегмент — в каком целочисленном промежутке $[k;k+1)$ оно лежит.
Примеры
1
$\lg 373{,}2$: запишем $373{,}2=3{,}732\cdot10^{2}$, значит $\lg373{,}2=\lg3{,}732+2\approx0{,}572+2=2{,}572$.
2
$\lg 0{,}123$: запишем $0{,}123=1{,}23\cdot10^{-1}$, значит $\lg0{,}123=\lg1{,}23+(-1)\approx0{,}090-1=-0{,}910$.
3
Обратная задача — по известному $\lg A$ найти само число $A=10^{\lg A}$. Например, если $\lg A\approx1{,}23$, то $A=10^{1}\cdot10^{0{,}23}\approx10\cdot1{,}698=16{,}98$.
Частая ошибкаДля чисел $A \lt 1$ значение $\lg A$ отрицательное целиком, но мантисса всё равно неотрицательна. Например, $\lg0{,}123\approx-0{,}910$, а не $\lg1{,}23 - 0{,}1$: характеристика здесь $k=-1$, а мантисса $\lg1{,}23\approx0{,}090$, и $-0{,}910=0{,}090+(-1)$ — складывать нужно именно так, а не «на глаз» переносить минус на мантиссу.
Запомни
Десятичный логарифм
- $A=a\cdot10^{k}$, $1\le a \lt 10$ — стандартный вид, $\lg A=\lg a+k$;
- $k$ — характеристика (целое число), $\lg a$ — мантисса ($0\le\lg a \lt 1$);
- обратная задача: $A=10^{\lg A}$.