10 класс · Корни, степени, логарифмы
5.5*. Степенные функции
Из жизниПлощадь квадрата $S=x^2$, объём куба $V=x^3$, сила притяжения, убывающая как $F\sim x^{-2}$ — всё это степенные функции $y=x^{\beta}$ с разными показателями $\beta$. Одна и та же формула $x^{\beta}$ ведёт себя совершенно по-разному в зависимости от знака и целости $\beta$.
Определение
Степенная функцияФункцию вида $y=x^{\beta}$, где $\beta$ — данное действительное число, называют степенной функцией.
Для положительного $x$ запись $x^{\beta}$ имеет смысл при любом действительном $\beta$, поэтому любая степенная функция определена хотя бы на $(0;+\infty)$. Если $\beta>0$, считают $0^{\beta}=0$ — точка $x=0$ входит в область определения. Если $\beta\le0$, запись $0^{\beta}$ смысла не имеет.
Пять типов поведения
Переключай вкладки и смотри, как меняется форма графика при $x>0$.
$\beta=n$ (натуральное)$y=x^n$ определена на всей числовой прямой, возрастает на $[0;+\infty)$. При нечётном $n$ — функция нечётная, при чётном — чётная.
$\beta=-n$ ($n$ натуральное)$y=x^{-n}$ определена при $x\ne0$, на $(0;+\infty)$ убывает, $y\to+\infty$ при $x\to0$, $y\to0$ при $x\to+\infty$.
$\beta=0$Область определения — все $x\ne0$ (запись $0^0$ смысла не имеет). Так как $x^0=1$, график — прямая $y=1$ без точки $(0;1)$.
$\beta$ — нецелое положительное$y=x^{\beta}$ определена на $[0;+\infty)$, возрастает, значения из $[0;+\infty)$.
$\beta$ — нецелое отрицательноеОпределена на $(0;+\infty)$, убывает, $y\to0$ при $x\to+\infty$, $y\to+\infty$ при $x\to0$.
Связь с показательной и логарифмической функцией
При $x>0$ любую степенную функцию можно записать через показательную и логарифмическую (для любого положительного $b\ne1$):
$$y=b^{\beta\log_b x}$$Отсюда следует характерное свойство степенной функции — для любого $\beta$ и любых положительных $x_1,x_2$:
$$(x_1 x_2)^{\beta}=x_1^{\beta}\cdot x_2^{\beta}$$
Частая ошибкаНе путай область определения при $x=0$: для $\beta>0$ точка $x=0$ входит в область определения ($0^{\beta}=0$), а для $\beta\le0$ — нет ($0^{\beta}$ не имеет смысла, включая $\beta=0$: запись $0^0$ тоже не определена).
Запомни
Степенная функция $y=x^{\beta}$
- $\beta>0$ целое — растёт на $[0;+\infty)$, определена всюду;
- $\beta \lt 0$ целое — убывает на $(0;+\infty)$, не определена при $x=0$;
- $\beta$ нецелое — определена только для $x\ge0$ ($\beta>0$) или $x>0$ ($\beta \lt 0$);
- $(x_1x_2)^{\beta}=x_1^{\beta}x_2^{\beta}$ для положительных $x_1,x_2$.